2019高考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 圓錐曲線中的綜合問題 含解析

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1、2019高考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 圓錐曲線中的綜合問題 含解析專題限時集訓(xùn)(十)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時:60分鐘)1(2018北京模擬)已知橢圓C:x2a2y2b21(ab0)的離心率為22,且過點1,22.(1)求橢圓C的方程;(2)過橢圓C的左焦點的直線l1與橢圓C交于A,B兩點,直線l2過坐標原點且與直線l1的斜率互為相反數(shù)若直線l2與橢圓交于E,F(xiàn)兩點且均不與點A,B重合,設(shè)直線AE與x軸所成的銳角為1,直線BF與x軸所成的銳角為2,判斷1與2的大小關(guān)系并加以證明解(1)由題可得ca22,1a2222b21,a2b2c2,解得a2b1c1.所以橢圓C的方程為x22y21.(2)結(jié)論:1

2、2,理由如下:由題知直線l1斜率存在,設(shè)l1:yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立yk(x1)x22y22,消去y得(12k2)x24k2x2k220,由題易知0恒成立,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24k212k2,x1x22k2212k2,因為l2與l1斜率相反且過原點,設(shè)l2:ykx,E(x3,y3),F(xiàn)(x4,y4),聯(lián)立ykxx22y22消去y得(12k2)x220,由題易知0恒成立,由根與系數(shù)的關(guān)系得x3x40,x3x4212k2,因為E,F(xiàn)兩點不與A,B重合,所以直線AE,BF存在斜率kAE,kBF,則kAEkBFk(x1x31)(x2x3)(x2x31)(x1x3)(

3、x1x3)(x2x3)k2x1x22x23x1x2(x1x3)(x2x3)k2(2k22)12k22212k24k212k2(x1x3)(x2x3)0,所以直線AE,BF的傾斜角互補,所以12.2(2018棗莊模擬)已知拋物線C:y22px(0p1)上的點P(m,1)到其焦點F的距離為54.(1)求C的方程;(2)已知直線l不過點P且與C相交于A,B兩點,且直線PA與直線PB的斜率之積為1,證明:l過定點解(1)由題意,得2pm1,即m12p.由拋物線的定義,得|PF|mp212pp2.由題意,12pp254,解得p12,或p2(舍去)所以C的方程為y2x.(2)證明:設(shè)直線PA的斜率為k(顯

4、然k0),則直線PA的方程為y1k(x1),則ykx1k.由ykx1ky2x消去y并整理得k2x22k(1k)1x(1k)20.設(shè)A(x1,y1),由根與系數(shù)的關(guān)系,得1x1(1k)2k2,即x1(1k)2k2.y1kx11kk(1k)2k21k11k.所以A(1k)2k2,11k.由題意,直線PB的斜率為1k.同理可得B11k21k2,111k,即B(k1)2,k1)若直線l的斜率不存在,則(1k)2k2(k1)2.解得k1,或k1.當(dāng)k1時,直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點重合,與題意不符;當(dāng)k1時,直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點重合,與題意不符所以,直線l的斜率必存

5、在直線l的方程為y(k1)k(k1)2x(k1)2,即yk(k1)2x1.所以直線l過定點(0,1)3(2018鄭州模擬)已知動圓E經(jīng)過點F(1,0),且和直線l:x1相切(1)求該動圓圓心E的軌跡G的方程;(2)已知點A(3,0),若斜率為1的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過坐標原點O和點A),且與曲線G交于B、C兩點,求ABC面積的最大值解(1)由題意可知點E到點F距離等于點E到直線l距離,所以動點E的軌跡是以F(1,0)為焦點,直線x1為準線的拋物線,故:曲線G的方程是y24x.(2)設(shè)直線l的方程為yxm,其中3mb0)的離心率與雙曲線x24y2121的離心率互為倒數(shù),且過點P1,32.(

6、1)求橢圓C的方程;(2)過P作兩條直線l1,l2與圓(x1)2y2r2(0r32)相切且分別交橢圓于M、N兩點求證:直線MN的斜率為定值;求MON面積的最大值(其中O為坐標原點)解(1)可得e12,設(shè)橢圓的半焦距為c,所以a2c,因為C過點P1,32,所以1a294b21,又c2b2a2,解得a2,b3,所以橢圓方程為x24y231.(2)證明:顯然兩直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),由于直線l1,l2與圓(x1)2y2r2(0r32)相切,則有k1k2,直線l1的方程為y32k1(x1),聯(lián)立方程組yk1xk132,x24y231,消去y,得x2

7、(4k213)k1(128k1)x(32k1)2120,因為P,M為直線與橢圓的交點,所以x11k1(8k112)4k213,同理,當(dāng)l2與橢圓相交時,x21k1(8k112)4k213,所以x1x224k14k213,而y1y2k1(x1x2)2k112k14k213,所以直線MN的斜率ky1y2x1x212.設(shè)直線MN的方程為y12xm,聯(lián)立方程組y12xm,x24y231,消去y得x2mxm230,所以|MN|1122m24(m23)1524m2,原點O到直線的距離d|2m|5,OMN面積為S121524m2|2m|532m2(4m2)32m24m223,當(dāng)且僅當(dāng)m22時取得等號經(jīng)檢驗,存在r(0r32),使得過點P1,32的兩條直線與圓(x1)2y2r2相切,且與橢圓有兩個交點M,N.所以O(shè)MN面積的最大值為3.

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