應(yīng)力與強度計算

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1、第三章 應(yīng)力與強度計算 一.內(nèi)容提要 本章介紹了桿件發(fā)生基本變形時的應(yīng)力計算，材料的力學(xué)性能，以及基本變形的強度計算。 1．拉伸與壓縮變形 1.1 拉（壓）桿的應(yīng)力 1.1.1拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力 拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為 (3-1) 式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。 正負(fù)號規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 公式（3-1）的適用條件： （1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件； （2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面； （3）桿件上有孔洞或凹

2、槽時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻； （4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角時，可應(yīng)用式（3-1）計算，所得結(jié)果的誤差約為3%。 1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力（如圖3-1） 圖3-1 拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為 全應(yīng)力 (3-2) 正應(yīng)力 （3-3） 切應(yīng)力 （3-4） 式中為橫截面上的應(yīng)力。 正負(fù)號規(guī)定： 由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負(fù)。 兩點結(jié)論： （1）當(dāng)時，即橫截面上，達(dá)

3、到最大值，即。當(dāng)=時，即縱截面上，==0。 （2）當(dāng)時，即與桿軸成的斜截面上，達(dá)到最大值，即。 1．2 拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律 （1）變形及應(yīng)變 桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。 圖3-2 軸向變形 軸向線應(yīng)變 橫向變形 橫向線應(yīng)變 正負(fù)號規(guī)定 伸長為正，縮短為負(fù)。 （2）胡克定律 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即 （3-5） 或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6) 式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征

4、桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。 公式(3-6)的適用條件： (a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即； (b)在計算時，l長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算，求其代數(shù)和得總變形。即 　　　　　　　　　　　　 (3-7) (3)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即 　　　　　　　　　　　　　 (3-8) 1.3 材料在拉（壓）時的力學(xué)性能 1.3.1低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能 應(yīng)力——應(yīng)變曲線如圖3-3所示。 圖3-3 低碳鋼拉伸時的應(yīng)力－應(yīng)變曲線 卸載定律:在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線

5、規(guī)律變化。如圖3-3中dd’直線。 冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，再次加載時，材料的比例極限升高，而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中d’def曲線。圖3-3中，of’ 為未經(jīng)冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。d’f’ 為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。 四個階段四個特征點，見表1-1。 表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個階段 階 段 圖1-5中線段 特征點 說 明 彈性階段 oab 比例極限 彈性極限 為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力 為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力 屈服階段 bc 屈服極限 為應(yīng)力變化不

6、大而變形顯著增加時的最低應(yīng)力 強化階段 ce 抗拉強度 為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力 局部形變階段 ef 產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂 表1-1 主要性能指標(biāo)，見表1-2。 表1-2 主要性能指標(biāo) 性能 性能指標(biāo) 說明 彈性性能 彈性模量E 當(dāng) 強度性能 屈服極限 材料出現(xiàn)顯著的塑性變形 抗拉強度 材料的最大承載能力 塑性性能 延伸率 材料拉斷時的塑性變形程度 截面收縮率 材料的塑性變形程度 1.3.2 低碳鋼在壓縮時的力學(xué)性能 圖3-4 低碳鋼壓縮時的應(yīng)力－應(yīng)變曲線 應(yīng)力——應(yīng)變曲線如圖3-4中實線所示。 低碳鋼壓縮

7、時的比例極限、屈服極限、彈性模量E與拉伸時基本相同，但側(cè)不出抗壓強度 1.3.3鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能 圖3-5 鑄鐵拉伸時的應(yīng)力－應(yīng)變曲線 應(yīng)力——應(yīng)變曲線如圖3-5所示。 應(yīng)力與應(yīng)變無明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，試驗時只能側(cè)得抗拉強度。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時的割線斜率來度量。 1.3.3鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能 應(yīng)力——應(yīng)變曲線如圖3-6所示。 圖3-6 鑄鐵壓縮時的應(yīng)力－應(yīng)變曲線 鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大4—5倍，破壞時破裂面與軸線成。宜于做抗壓構(gòu)件。 1.3.4塑性材料和脆性材料 延伸率〉5%的材料稱為塑性材料。 延伸率〈5%的材料稱為脆性材

8、料。 1.3.5屈服強度 對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服強度，并以表示。 1.4 強度計算 許用應(yīng)力 材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。 塑性材料 []= ； 脆性材料 []= 其中稱為安全系數(shù)，且大于1。 強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。 對軸向拉伸（壓縮）桿件 　　　　　　　　　 （3-9） 按式（1-4）可進(jìn)行強度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強度計算。 2．扭轉(zhuǎn)變形 2.1 切應(yīng)力互等定理 受力構(gòu)件

9、內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。 2.2純剪切 單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 2.3切應(yīng)變 切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。 2.4 剪切胡克定律 在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即 　　　　　　　　　　　　　 (3-10) 式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實驗決定。

10、 對各向同性材料,E、 、G有下列關(guān)系 　　　　　　　　　　　 (3-11) 2.5 圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力和強度條件 2.5.1 橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律 用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過平面假設(shè)，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應(yīng)力分布規(guī)律和大小。 (1)沿半徑成線性分布，圓心處，最大切應(yīng)力在圓截面周邊上。 T T (2)切應(yīng)力方向垂直半徑，圓截面上切應(yīng)力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3-7。 圖3-7 2.5.2切應(yīng)力計算公式 橫截面上某一點切應(yīng)力大小為 　

11、　　　　　　　　　　 (3-12) 式中為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點至圓心的距離。 圓截面周邊上的切應(yīng)力為 　　　　　　　　　　 (3-13) 式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。 2.5.3 切應(yīng)力公式討論 （1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。 （2） 極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為

12、合理。 表3-3 實心圓 （外徑為d） 空心圓 （外徑為D， 內(nèi)徑為d） 2.5.4強度條件 圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為 　　　　　　 (3-14) 對等圓截面直桿 （3-15） 式中為材料的許用切應(yīng)力。 3．彎曲變形的應(yīng)力和強度計算 3.1 梁橫截面上正應(yīng)力 3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系 (3-1

13、6) 式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。 3.1.2橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式 (3-17) 式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離。 由式(3-17)可見，正應(yīng)力的大小與該點到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。 在實際計算中，正應(yīng)力的正負(fù)號可根據(jù)梁的變形情況來確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點均為拉應(yīng)力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點均為壓應(yīng)力。 最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點處

14、（3-18） 式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對于的矩形截面，；對于直徑為D的圓形截面，；對于內(nèi)外徑之比為的環(huán)形截面，。 若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。 3.2梁的正應(yīng)力強度條件 梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為 （3-19） 由正應(yīng)力強度條件可進(jìn)行三方面的計算： （1）校核強度 即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應(yīng)力以及所受載荷，校核正應(yīng)力是否超過容許值，從而檢驗梁是否安全。 （2）設(shè)計截面 即已知載荷及容許應(yīng)力，可由式確定截面的尺

15、寸 （3）求許可載荷 即已知截面的幾何尺寸及容許應(yīng)力，按式確定許可載荷。 對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強度條件應(yīng)表達(dá)為 （3-20a） （3-20b） 式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。 若梁上同時存在有正、負(fù)彎矩，在最大正、負(fù)彎矩的橫截面上均要進(jìn)行強度計算。 3.3梁的切應(yīng)力 （3-21） 式中，Q是橫截面上的剪力

16、；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。 3.3.1矩形截面梁 切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。 切應(yīng)力計算公式 （3-22） 最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處，。 3.3.2工字形截面梁 切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。 切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為 (3-23) 式中各符號可參看。 另外，沿翼緣水平方向也有不大

17、的切應(yīng)力，計算公式為 （3-24） 翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪切應(yīng)力形成所謂的剪應(yīng)力流。由于這部分切應(yīng)力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中才用到它。 3.3.3圓形截面梁 橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。 最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為 （3-25） 圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。 3.4切應(yīng)力強度條件 梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即

18、 (3-26) 式中，是梁上的最大切應(yīng)力值；是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；是橫截面對中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。 切應(yīng)力強度條件同樣可以進(jìn)行強度校核、設(shè)計截面和求許可載荷三方面的計算。 在進(jìn)行梁的強度計算時，應(yīng)注意下述二個問題。 （1） 對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強度條件是主要的，剪應(yīng)力強度條件是次要的。一般僅需考慮正應(yīng)力強度條件。對于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時，截面上剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，需要校核切應(yīng)力強度。 （2） 正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，

19、該處的切應(yīng)力為零；切應(yīng)力的最大值一般發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對于橫截面上其余各點，將同時存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，這些點的強度計算，應(yīng)按強度理論計算公式進(jìn)行。 3.5提高彎曲強度的主要措施 3.5.1選擇合理的截面形式 由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比。在截面面積相同的情況下，改變截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)，從而達(dá)到提高彎曲強度的目的。 為了比較各種截面的合理程度，可用抗彎截面系數(shù)與截面面積的比值來衡量，比值愈大，截面就愈合理。 在選擇截面形狀時，還要考慮材料的性能。對于由塑料材料制成的梁，因拉伸與壓縮的容許應(yīng)力相同，以采用中性軸為對稱

20、軸的截面。對于由脆性材料制成的梁，因容許拉應(yīng)力遠(yuǎn)小于容許壓應(yīng)力，宜采用T字形或II形等中性軸為非對稱軸的截面，并使最大拉應(yīng)力發(fā)生在離中性軸較近的的邊緣處。 3.5.2用變截面梁 一般的強度計算是以危險截面的最大彎矩為依據(jù)的，按等截面梁來設(shè)計截面尺寸，這顯然是不經(jīng)濟的。如果在彎矩較大的截面采用較大的尺寸，在彎矩較小的截面采用較小的尺寸，使每個截面上的最大正應(yīng)力都達(dá)到容許應(yīng)力，據(jù)此設(shè)計的變截面梁是最合理的，稱為等強度梁。 3.5.3改善梁的受力狀況 合理布置梁上的載荷和調(diào)整梁的支座位置，使梁的最大彎矩變小，也可達(dá)到提高彎曲強度的目的。 4.剪切及其實用計算 4.1剪切的概念 剪切定義

21、為相距很近的兩個平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對（相反）的兩個力，當(dāng)這兩個力相互平行錯動并保持間距不變地作用在構(gòu)件上時，構(gòu)件在這兩個平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產(chǎn)生剪切變形。 4.2剪切的實用計算 名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應(yīng)力為 （3-27） 剪切強度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的 許用切應(yīng)力,即 （3-28） 利用式（3-28）對構(gòu)件進(jìn)行剪切強度校核、截面設(shè)計和許可載荷的計算。 5.擠壓及其實用計算 5

22、.1擠壓的概念 擠壓 兩構(gòu)件接觸面上產(chǎn)生的局部承壓作用。 擠壓面 相互接觸壓緊的面。 擠壓力 承壓接觸面上的總壓力，用表示。 5.2擠壓的實用計算 名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29） 式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。 擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力 （3-30） 利用式（

23、3-29）對構(gòu)件進(jìn)行擠壓強度校核、截面設(shè)計和許可載荷的計算。 二．基本要求 1.拉伸與壓縮變形 1.1熟練掌握應(yīng)力的計算，理解胡克定律。 1.2了解常用材料在拉伸和壓縮時的機械性質(zhì)及其測量方法。 1.3理解許用應(yīng)力、安全系數(shù)和 強度條件，熟練計算強度問題。 2.扭轉(zhuǎn)變形 2.1理解純剪切的概念、切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。 2.2理解圓軸扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力公式推導(dǎo)方法，并熟練計算扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。 2.3理解圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件的建立方法，并熟練計算強度問題。 3.彎曲變形 3.1理解彎曲正應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)方法，熟練掌握彎曲正應(yīng)力及強度問題。 3.2理解彎曲切應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)

24、方法，掌握簡單截面梁彎曲切應(yīng)力的計算及彎曲切應(yīng)力強度條件。 4.剪切與擠壓變形：了解剪切和擠壓的概念，熟練掌握剪切和擠壓的實用計算方法。 5.熟練掌握常用截面的形心、靜矩、慣性矩的計算及平行移軸公式。 三．補充例題 例1．桿系結(jié)構(gòu)如圖所示，已知桿AB、AC材料相同，MPa，橫截面積分別為mm2，mm2，試確定此結(jié)構(gòu)許可載荷[P]。 解：（1）由平衡條件計算實際軸力，設(shè)AB桿軸力為，AC桿軸力為。 對于節(jié)點A，由得 （a） 由得

25、 （b） 由強度條件計算各桿容許軸力 kN （c） kN （d） 由于AB、AC桿不能同時達(dá)到容許軸力，如果將，代入（2）式，解得 kN 顯然是錯誤的。 正確的解應(yīng)由（a）、（b）式解得各桿軸力與結(jié)構(gòu)載荷P應(yīng)滿足的關(guān)系 （e） （f） （2）根據(jù)各桿各自的強度條件，即，計算所對應(yīng)

26、的載荷，由（c）、（e）有 kN kN kN （g） 由（d）、（f）有 kN kN kN （h） 要保證AB、AC桿的強度，應(yīng)?。╣）、（h）二者中的小值，即，因而得 kN 上述分析表明，求解桿系結(jié)構(gòu)的許可載荷時，要保證各桿受力既滿足平衡條件又滿足強度條件。 例2．如圖 所示沖床，kN，沖頭MPa，沖剪鋼板 MPa，設(shè)計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解：（1）按沖頭壓縮強度計算 所以

27、 cm （2）按鋼板剪切強度計算 所以 cm 例3． 2..5挖掘機減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過平鍵連接，已知鍵所受的力為P＝12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mm，h=16mm,=70mm，圓頭半徑R＝14mm（如圖 ）。鍵的許用切應(yīng)力87MPa，輪轂的許用擠壓應(yīng)力?。?00MPa，試校核鍵連接的強度。 解：　（1）校核剪切強度　鍵的受力情況如圖 c所示，此時剪切面上的剪力（圖 d）為 　　　　　　　　 對于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計（圖3－10e），故剪切面面積為 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 所以，平鍵的工作切應(yīng)力為 　　　　　

28、　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 滿足剪切強度條件。 （2）校核擠壓強度　與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓面上的擠壓力為 　　　　　　　　　　　 P＝12100N 擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的接觸高度為，則擠壓面面積（圖f)為 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 故輪轂的工作擠壓應(yīng)力為 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 也滿足擠壓強度條件。所以，此鍵安全。 例4 AB軸傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速。如圖 所示，軸AC段為實心圓截面，CB段為空心圓截面。已知，。試計算AC以及CB段的最大與最小剪應(yīng)力。 解：（1）計算扭矩 軸所受的外力偶矩為 由截面法 （2）計算極慣性矩 AC段和CB段軸橫截面的極慣性矩分別為 （3）計算應(yīng)力 AC段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力為 CB段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力分別為