2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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專題突破二　焦點弦的性質(zhì) 拋物線的焦點弦是考試的熱點，有關(guān)拋物線的焦點弦性質(zhì)較為豐富，對拋物線焦點弦性質(zhì)進行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化． 一、焦點弦性質(zhì)的推導(dǎo) 例1　拋物線y2＝2px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1. 證明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦； (4)＋＝為定值； (5)S△OAB＝(θ為直線AB的傾斜角)； (6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切； (7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線． 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 證明　(1)①當(dāng)AB⊥x軸時， 不妨設(shè)A，B， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. ②當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)為k(k≠0)， 則直線AB的方程為y＝k， 代入拋物線方程y2＝2px， 消元得y2＝2p， 即y2－－p2＝0， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)當(dāng)θ≠90時，過A作AG⊥x軸，交x軸于G， 由拋物線定義知|AF|＝|AA1|， 在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ， 由圖知|GG1|＝|AA1|， 則p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝， 同理得|BF|＝； 當(dāng)θ＝90時，可知|AF|＝|BF|＝p， 對于|AF|＝，|BF|＝亦成立， ∴|AF|＝，|BF|＝. (3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p ＝＋＝≥2p， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90時取等號． 故通徑為最短的焦點弦． (4)由(2)可得， ＋＝＋＝. (5)當(dāng)θ＝90時，S△OAB＝2p＝， 故滿足S△OAB＝； 當(dāng)θ≠90時，設(shè)直線AB：y＝tanθ， 原點O到直線AB的距離 d＝＝sinθ， S△OAB＝|AB|＝sinθ＝. (6)如圖：⊙M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點M1， 則|MM1|＝＝＝， 故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (7)設(shè)直線AB的方程：x＝my＋， 代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0. 由(1)可得y1y2＝－p2. 因為BB1∥x軸，∴B1，即B1， ＝＝＝＝＝kOA， 所以∥且公共點為O， 所以直線AB1過點O. 所以A，O，B1三點共線， 同理得B，O，A1三點共線． 二、焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用 例2　(1)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　D 解析　方法一　由題意可知，直線AB的方程為 y＝， 代入拋物線的方程可得4y2－12y－9＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝3，y1y2＝－， 故所求三角形的面積為＝. 方法二　運用焦點弦傾斜角相關(guān)的面積公式， 則S△OAB＝＝＝. (2)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16B．14C．12D．10 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　A 解析　方法一　拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)， 由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0. 不妨設(shè)直線l1的斜率為k， l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)， 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝＝2＋， 由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝1時取等號， 故|AB|＋|DE|的最小值為16. 方法二　運用焦點弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則θ≠且θ≠0， 因此|AB|＋|DE|＝＋ ＝＋＝＝≥16. 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝或π時，等號成立． 點評　上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題，涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題． 跟蹤訓(xùn)練　過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　 解析　由于y2＝2x的焦點坐標(biāo)為，由題意知A，B所在直線的斜率存在， 設(shè)A，B所在直線的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦點，且與該拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(　　) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8. 又AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，∴－＝2， ∴x1＋x2＝－4，∴p＝4， ∴所求拋物線的方程為y2＝－8x.故選B. 4．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________________． 考點　 題點　 答案　 解析　拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，又準(zhǔn)線方程為x＝－1，因此點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為＋1＝. 5．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若點A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為________． 考點　 題點　 答案　90 解析　設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，如圖． ∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B， ∴∠A1FB1＝∠AFB＝90. 一、選擇題 1．已知AB是過拋物線y＝2x2的焦點的弦，若|AB|＝4，則AB的中點的縱坐標(biāo)是(　　) A．1B．2C.D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　D 解析　如圖所示，設(shè)AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A′，Q，B′， 由題意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2， 又|PQ|＝y(tǒng)0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 2．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是(　　) A．成等差數(shù)列 B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 考點　 題點　 答案　A 解析　設(shè)三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3， 因為2y＝y(tǒng)＋y， 所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 3．拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點A，過點A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是(　　) A．4B．3C．4D．8 答案　C 解析　由拋物線的定義可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率為，∴AF的傾斜角為30，∵AH垂直于準(zhǔn)線， ∴∠FAH＝60，故△AHF為等邊三角形．設(shè)A，m>0，過F作FM⊥AH于M，則在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等邊三角形AHF的邊長|AH|＝4，∴△AHF的面積是44sin60＝4.故選C. 4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點，且|AF|>|BF|，則的值為(　　) A．3B．2C.D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　A 解析　由拋物線的性質(zhì)可知， |AF|＝，|BF|＝， ∴＝＝3. 5．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＋y的最小值為(　　) A．4B．6C．8D．10 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　由焦點弦的性質(zhì)知， y1y2＝－4，即|y1||y2|＝4， 則y＋y≥2|y1||y2|＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|＝2時，取等號． 故y＋y的最小值為8. 6．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標(biāo)原點，則|AF||BF|的最小值是(　　) A．2B.C．4D．2 答案　C 解析　設(shè)直線AB的傾斜角為θ，可得|AF|＝，|BF|＝，則|AF||BF|＝＝≥4. 7.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，則p的值為(　　) A. B．2 C. D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　設(shè)直線l的傾斜角為θ， 由焦點弦的性質(zhì)知，|BF|＝，|AF|＝， ∴解得 8．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　當(dāng)cosθ>0時，|AF|＝，|BF|＝. 由|AF|＝3|BF|，∴＝， 即cosθ＝，此時tanθ＝， 當(dāng)cosθ<0時，|AF|＝，|BF|＝， 由|AF|＝3|BF|，∴＝， 即cosθ＝－，此時tanθ＝－，故選C. 9．直線l過拋物線C：y2＝4x的焦點F，交拋物線C于A，B兩點，則＋的取值范圍為(　　) A．{1} B．(0,1] C．[1，＋∞) D. 考點　 題點　 答案　A 解析　易知焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1. 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為k， 則直線l的方程為y＝k(x－1)， 代入拋物線方程，得k2(x－1)2＝4x. 化簡為k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝1， 根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴＋＝＋ ＝＝1. 當(dāng)直線l的斜率不存在時， 則直線l：x＝1，此時|BF|＝|AF|＝2， ∴＋＝1， 綜上，＋＝1. 10.如圖，過拋物線x2＝4y焦點的直線依次交拋物線和圓x2＋(y－1)2＝1于點A，B，C，D，則|AB||CD|的值是(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 考點　 題點　 答案　D 解析　易知，直線斜率存在，設(shè)為k， 由得y2－(4k2＋2)y＋1＝0， ∵|AB|＝|AF|－1＝y(tǒng)A，|CD|＝|DF|－1＝y(tǒng)D， ∴|AB||CD|＝y(tǒng)AyD＝1. 二、填空題 11．一條直線過點，且與拋物線y2＝x交于A，B兩點．若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于________． 考點　 題點　 答案　 解析　∵拋物線y2＝x的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴直線AB為過焦點的直線， ∴AB的中點到準(zhǔn)線的距離＝＝2， ∴弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于2＋＝. 12．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________． 考點　 題點　 答案　 解析　由題意知拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為l：x＝－1，可得A點的橫坐標(biāo)為2，不妨設(shè)A(2，2)，則直線AB的方程為y＝2(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝1|yA－yB|＝. 13．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　6 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)． 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 三、解答題 14.如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，圓x2＋y2＝4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點且斜率為2，直線l交拋物線和圓依次于A，B，C，D四點． (1)求拋物線的方程； (2)求|AB|＋|CD|的值． 考點　 題點　 解　(1)由圓的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4， 可知圓心為F(2,0)，半徑為2， 又由拋物線的焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為F(2,0)， 故拋物線方程為y2＝8x. (2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|， ∵|BC|為已知圓的直徑，∴|BC|＝4， 則|AB|＋|CD|＝|AD|－4， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在拋物線上， 由已知可知直線l的方程為y＝2(x－2)， 由消去y， 得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6， ∴|AD|＝6＋4＝10， 因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6. 15.已知M為拋物線y2＝2px(p>0)上一動點，A(a,0)(a>0)為其對稱軸上一點，直線MA與拋物線的另一個交點為N.當(dāng)A為拋物線的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時，△OMN的面積為. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)記t＝＋，若t的值與M點位置無關(guān)，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”，試求出所有“穩(wěn)定點”，若沒有，請說明理由． 考點　 題點　 解　(1)由題意知，當(dāng)直線MA與拋物線對稱軸垂直時， S△MON＝|OA||MN|＝2p＝＝， ∴p＝3， 故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直線MN的方程為x＝my＋a， 聯(lián)立得y2－6my－6a＝0， 所以Δ＝36m2＋24a>0， y1＋y2＝6m，y1y2＝－6a， 由對稱性，不妨設(shè)m>0， 因為a>0，所以y1y2＝－6a<0， 所以y1，y2異號， 又t＝＋＝＋ ＝ t2＝ ＝ ＝ ＝. 所以，當(dāng)且僅當(dāng)－1＝0即a＝時，t與m無關(guān)，A為穩(wěn)定點．