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1、單擊此處編輯母版書名樣式,*,材料力學,出版社 科技分社,第七章,彎曲變形,2,平面彎曲時，梁的軸線在縱向對稱平面內彎曲成一條平面曲線，這條曲線稱為梁的撓曲線。橫截面形心在橫向沿y軸方向的位移w稱為撓度。,撓曲線方程,或,撓度方程：,梁的橫截面與變形前橫截面的夾角,稱為梁的轉角。,小變形梁可近似為,轉角方程,7.1 梁的彎曲變形,3,7.2 梁的撓曲線近似微分方程,由純彎曲梁的曲率與彎矩的關系：,曲線曲率計算公式,由曲率-彎矩的符號關系：,小變形梁的近似微分方程：,4,7.3,積分法求梁的位移,對于等截面直梁,一次積分得轉角方程,二次積分得撓曲線方程,C、D積分常數，由梁上的撓度或轉角確定，這
2、些的撓度或轉角稱為邊界條件。,5,以圖示簡支梁為例,以圖示懸臂梁為例,6,例題,7.1,：圖示一彎曲剛度為,EI,的懸臂梁，在自由端受一集中力,F,的作用，試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。,解：建立圖示坐標系，彎矩方程為,撓曲線近似微分方程,兩次積分，得,7,由懸臂梁的邊界條件,得積分常數,轉角方程,撓曲線方程,最大轉角,最大撓度,8,例題,7.2,：圖示彎曲剛度為,EI,的簡支梁，受集度為,q,的均布荷載作用，試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。,解：由平衡方程得支座反力,建立坐標系，得梁的彎矩方程為,梁撓曲線近似微分方程,9,兩次積分得：,由
3、簡支梁的邊界條件：,得積分常數,10,梁的轉角方程,梁的撓曲線方程,最大轉角,最大撓度,11,例題,7.3,：圖示彎曲剛度為,EI,的簡支梁，在,C,點受集中力,F,作用，試求梁的撓曲線方程和轉角方程，并確定其最大撓度和最大轉角。,解：梁的兩支座支反力,AC段0 x a:,彎矩方程：,撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,12,CB段a x l:,12,彎矩方程：,撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,13,由,C,點處的光滑連續(xù)條件：,由梁的邊界條件：,14,得梁,AC,段轉角方程和撓曲線位移方程,得梁,CB,段轉角方程和撓曲線位移方程,15,顯然，最大轉角可能發(fā)生在左、右兩
4、支座處的截面，其值分別為,當,a,b,時，,B,支座處截面的轉角絕對值為最大,簡支梁的最大撓度應在,d,w,/d,x,=0,處，由 得,當 ab 時，那么有x1 a，由此可知最大撓度位于AC之間。,16,最大撓度值,跨中撓度值,可以證明，當集中載荷從簡支梁跨中向梁端移動時，最大撓度與跨中撓 度之比值不斷增大。當b值趨于零時，那么比值wmax/wC1.0265，即最大撓度值與跨中撓度值最大相差不超過2.65%。,工程中，無論受到什么荷載作用，只要簡支梁的撓曲線上無拐點，其最大撓度均都可用梁跨中點處的撓度代替，其精確度足可滿足工程的計算要求。,17,7.4,疊加法求梁的變形,在上述條件下，如果梁受
5、多個荷載同時作用，其任一橫截面的撓度和轉角等于各荷載單獨作用下同一截面撓度和轉角的疊加,和,，此為梁變形計算的,疊加原理。,梁在小變形條件下，其彎矩與荷載成線性關系，在線彈性范圍內，撓曲線的曲率與彎矩成正比，當撓度很小時，曲率與撓度也成線性關系。,18,例題,7.4,：示簡支梁，其上作用有集中力,F,和集度為,q,的均布荷載，求,A,截面處的點轉角和梁中點,C,的點撓度。,解,：均布荷載,q,單獨作用時：,，,集中力,F,單獨作用時：,，,將相應的位移疊加，即得,19,例題,7.5,：圖示懸臂梁，其上作用有集中力,F,，求自由端點,C,處的撓度和轉角。,，,解,：梁上,BC,段未受力的作用，這
6、段梁只發(fā)生位移，沒有變形，保持為直線。,B,點的轉角和撓度分別為,由疊加原理,20,例題,7.6,：懸臂梁承受荷載如圖示。求撓度的最大值。,解：將荷載分解為圖示b和c兩種均布荷載的疊加。在b荷載作用下,在c荷載作用下,疊加,21,梁的剛度條件,為了保證梁在荷載作用下有足夠的剛度，按梁的用途，可選擇梁的撓度或梁的轉角為梁的剛度容許條件。對于選擇撓度，通常用許可的撓度與跨長之比值 作為標準。,在土建工程中,在機械工程中,梁的許可轉角,的值一般限制在,0.0050.001rad,范圍內。,22,例題7.7：承受均布荷載的簡支梁，梁截面采用22號工字鋼，：l=6m，q=4kN/m，梁的許可撓度與跨長之
7、比值為 f/l=1/400,彈性模量E=200GPa，試校核梁的剛度。,解,：由,附錄,型鋼表，查得,22,號工字鋼的,軸,慣性矩為,滿足剛度要求。,23,例題7.8：一圓木簡支梁受均布荷載如圖示。：q=2kN/m，l=4m，E=10GPa，=10MPa，f/l=1/200；試求梁截面所需直徑d。,解：1根據正應力強度條件選擇截面尺寸。,正應力強度條件,所需橫截面的直徑,簡支梁的最大彎矩為,24,2根據由剛度條件選擇截面尺寸,簡支梁的最大撓度值,由剛度條件,所需橫截面的直徑為,綜合考慮取梁的截面直徑：,d,162mm,25,7.5.2,提高梁的剛度的措施,1增大梁的彎曲剛度EI,2調整跨長和改
8、變結構,為了增大鋼梁的彎曲剛度，梁的橫截面應采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠的形狀，以增大截面對于中性軸的慣性矩,I,z,，,26,所謂改變結構來提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁。,27,7.6,簡單超靜定梁的解法,如果梁的未知約束反力的數目多于可列出的獨立靜力學平衡方程的數目，僅憑靜力學平衡條件不能完全確定所有未知約束反力，這類梁稱為,超靜定梁,。,28,以圖,示,的簡支梁為例，說明其解法,.,解除超靜定梁的多余約束,C,，用約束反力,F,C,代替；由此得到的靜定梁稱為原超靜定梁的靜定基,。,變形相容性條件,或,q,引起的,C,處撓度,F,C,引起的,C,處撓
9、度,29,將關系式b(c)代入a,得,解得多余約束反力為,根據靜定基的,平衡條件，求得梁端的支座約束力為,梁的剪力和彎矩圖如下圖,30,例題,7.9,：求圖示超靜定梁,B,支座的約束反力。,解,：,解除,B,處的約束，以約束反力,F,B,代替,變形相容條件,查附錄,得,31,將得到的上述撓度代入變形相容條件,即得補充方程,解得,負號表示支座B處的約束力實際方向與假設相反,32,例題,7.10,：圖示結構，梁,AB,的,EI,為一常數，,BC,桿的,EA,為一常數，求,B,處的約束反力。,解：1選擇靜定基，解除B處的約束，以約束反力FBC代替,2變形相容條件,3由梁與拉壓桿的變形計算,33,4將
10、變形計算式代入相容條件得補充方程,解得,34,本章小結,1梁的位移用撓度w和轉角 兩個根本量表示,且,2由撓曲線近似微分方程,通過積分運算計算梁的撓度和轉角；,3當梁上同時受有幾種幾個荷載作用時，可采用疊加法計算梁的位移。,4工程設計中，梁不僅需滿足強度條件，還應滿足剛度條件，把位移控制在允許的范圍內。,35,(5),求解超靜定梁的主要步驟：,解除超靜定結構的多余約束，用多余約束力替代相應約束，得靜定基；,根據原超靜定結構給出靜定基的變形相容條件；,求出靜定基的位移計算表達式，并代入變形相容條件得到補充方程。,由補充方程求解出多余約束力。,再按靜定平衡條件計算出其它約束反力，繪出剪力和彎矩圖。,36,第七章結束,
材料力學第7章彎曲變形
