高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題突破系列(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用課件.ppt

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熱點(diǎn)專題突破系列(二) 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一 三角函數(shù)的求值與平面向量的綜合 【考情分析】以平面向量為載體利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)及倍角公式等解決三角函數(shù)的條件求值問題,是高考的重要考向,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.,【典例1】(2015·海濱模擬)已知m=(sinx, cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 的值. (2)當(dāng)x∈[0, ]時,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值.,【解題提示】(1)利用向量的坐標(biāo)計(jì)算兩向量的數(shù)量積,從而得f(x), 把x= 代入可得. (2)利用x的范圍確定角的范圍,從而得三角函數(shù)的最大值與最小值.,【規(guī)范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ cosxsinx= = sin2x- cos2x+ =sin(2x- )+ . 故,(2)當(dāng)x∈[0, ]時, 故當(dāng)2x- = ,即x= 時,f(x)max=1+ = , 當(dāng)2x- =- ,即x=0時, f(x)min=sin(- )+ =- + =0.,【規(guī)律方法】平面向量在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用步驟 (1)此類題目的特點(diǎn)是所給向量的坐標(biāo)用關(guān)于某角的正、余弦給出,把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為關(guān)于該角的三角函數(shù)的等式. (2)利用三角恒等變換進(jìn)行條件求值.,【變式訓(xùn)練】(2015·南京模擬)已知向量a=(sinθ,-2)與b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, ). (1)求cosθ,sinθ的值. (2)若5cos(θ-φ)=3 cosφ,0φ ,求cosφ的值.,【解析】(1)因?yàn)閍⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0, 即sinθ=2cosθ. 又sin2θ+cos2θ=1, 所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ= . 因?yàn)棣取?0, ),所以cosθ= ,sinθ=2cosθ= .,(2)由5cos(θ-φ)=3 cosφ,得 5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 cosφ, 即 cosφ+2 sinφ=3 cosφ,所以sinφ=cosφ. 因?yàn)棣铡?0, ),所以cosφ= .,【加固訓(xùn)練】設(shè)向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c= (cosβ,-4sinβ). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tanαtanβ=16,求證:a∥b.,【解析】(1)因?yàn)閎-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a與b-2c垂直, 所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ =2(cosαcosβ-sinαsinβ), 所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.,(2)因?yàn)閎+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), 所以|b+c|= = 所以當(dāng)sin2β=-1時,|b+c|取最大值,且最大值為,(3)因?yàn)閠anαtanβ=16,所以 =16, 即sinαsinβ=16cosαcosβ, 所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ, 即a=(4cosα,sinα)與b=(sinβ,4cosβ)共線, 所以a∥b.,考點(diǎn)二 三角函數(shù)的性質(zhì)與平面向量的綜合 【考情分析】以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體,引入三角函數(shù),通過三角恒等變換化為一個角的三角函數(shù),重點(diǎn)考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、取值范圍及三角函數(shù)的圖象變換等.,【典例2】(2015·沈陽模擬)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx, ), f(x)=(m+n)·m. (1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. (2)當(dāng)x∈[0, ]時,求f(x)的值域. (3)將f(x)的圖象左移 個單位后得g(x)的圖象,求g(x)在 上的最大值.,【解題提示】(1)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得f(x)的解析式可求周期及增區(qū)間. (2)利用已知求得角的范圍后可求f(x)的值域. (3)利用圖象平移變換可得g(x),再利用角的范圍求解最大值.,【規(guī)范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ), 故f(x)=(m+n)·m =(sinx+cosx, )·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- = sin2x- cos2x =,故f(x)的最小正周期T= =π, 由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z).,(2)當(dāng)x∈[0, ]時,2x- ∈ 故- ≤sin(2x- )≤1, 故- ≤ sin(2x- )≤ . 所以當(dāng)x∈[0, ]時,f(x)的值域?yàn)?(3)由已知得g(x)= = 故當(dāng)x∈ 時,2x∈ 所以當(dāng)2x=0即x=0時,g(x)max= cos0= .,【規(guī)律方法】平面向量與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的解法 (1)利用平面向量的數(shù)量積把向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題. (2)利用三角函數(shù)恒等變換公式(尤其是輔助角公式)化簡函數(shù)解析式. (3)根據(jù)化簡后的函數(shù)解析式研究函數(shù)的性質(zhì).,【變式訓(xùn)練】(2015·東營模擬)已知m=(bsinx,acosx),n=(cosx, -cosx),f(x)=m·n+a,其中a,b∈R,且滿足 =2,f′(0)=2 . (1)求a,b的值. (2)若關(guān)于x的方程f(x)- =0在[0, ]上總有實(shí)數(shù)解.求k的取 值范圍.,【解析】(1)由已知得,f(x)=m·n+a=bsinxcosx-acos2x+a = 由 =2得a+ b=8. 又因?yàn)閒′(x)=bcos2x+asin2x且f′(0)=2 , 所以b=2 ,所以a=2.,(2)由(1)得f(x)= sin2x-cos2x+1 =2sin(2x- )+1, 所以x∈ 時,2x- ∈ 所以-1≤2sin(2x- )≤2, 所以f(x)∈[0,3].,又因?yàn)閒(x)- =0在 上總有實(shí)數(shù)解,即f(x)= 有解,所 以0≤ ≤3, 即-3≤log3k≤0,所以 ≤k≤1. 故k的取值范圍是,【加固訓(xùn)練】已知向量a=(sin(π-ωx),sin( -ωx)), b=(cosωx, cosωx)(ω0),若f(x)=a·b,且f(x)的最小正周期為π. (1)求ω的值. (2)試述由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到f(x)的圖象. (3)求y=f(x)的值域.,【解析】(1)f(x)=a·b =sin(π-ωx)cosωx+sin( -ωx)cosωx =sinωxcosωx+cos2ωx= sin2ωx+ 所以 =π,即ω=1.,(2)由(1),得f(x)= 首先把y=sinx的圖象向左平移 個單位,得y=sin(x+ )的圖象;其次把y=sin(x+ )的圖象縱坐標(biāo) 不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得y=sin(2x+ )的圖象;然后把y= sin(2x+ )的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍,得y= 的圖象;最后,把y= 的圖象向上平移 個單位,得f(x)= 的圖象.,(3)因?yàn)閒(x)min= f(x)max= 所以f(x)的值域是,考點(diǎn)三 平面向量在三角形計(jì)算中的應(yīng)用 【考情分析】以平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積為載體考查三角形中正、余弦定理的應(yīng)用及簡單的三角恒等變換,主要解決三角形中求邊、求角及求三角形面積等.考查分析問題,解決問題的能力.,【典例3】(2015·武漢模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,m=(a,b),n=(sinB,-cosA)且m·n=0. (1)求內(nèi)角A的大小. (2)若a=10,求△ABC的面積的最大值. 【解題提示】(1)利用向量數(shù)量積運(yùn)算得邊角關(guān)系,利用正弦定理邊化角后可解. (2)利用余弦定理求得bc的最大值后可解.,【規(guī)范解答】(1)由已知得m·n=asinB-bcosA=0. 由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosA=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. 因?yàn)?Bπ,所以sinB≠0. 所以sinA=cosA即tanA=1,又0Aπ,故A= .,(2)因?yàn)閍=10,所以a2=b2+c2-2bccosA=102. 由(1)知A= ,所以b2+c2- bc=100. 又c2+b2≥2bc,所以100+ bc≥2bc.所以bc≤ 所以S= bcsinA= bc≤ 等號當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取得. 故△ABC面積的最大值為25( +1).,【規(guī)律方法】平面向量與三角形計(jì)算綜合問題的解法 (1)利用平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式,把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的計(jì)算問題,在三角形中,結(jié)合三角形內(nèi)角和公式、正余弦定理、三角形的面積公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. (2)先在三角形中利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算,再按要求求向量的數(shù)量積、夾角、模等. 提醒:解決三角形中向量夾角問題的思維誤區(qū)是不注意向量的方向,從而弄錯向量的夾角.,【變式訓(xùn)練】(2015·安慶模擬)已知△ABC的面積是30,三內(nèi)角A,B,C 所對邊長分別為a,b,c,cosA= (1)求 (2)若c-b=1,求a的值.,【解析】(1)由cosA= ,得sinA= S△ABC= bcsinA= bc=30,bc=156. (2)因?yàn)閏-b=1,bc=156, 所以a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc- =1+ ×156=25,即a=5.,【加固訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,tanC=3 . (1)求cosC的值. (2)若 且a+b=9,求c的長.,【解析】(1)因?yàn)閠anC=3 ,所以 又因?yàn)閟in2C+cos2C=1,解得cosC=± . 因?yàn)閠anC0,所以C是銳角.所以cosC= . (2)因?yàn)? 所以abcosC= ,解得ab=20. 又因?yàn)閍+b=9,所以a2+b2=41. 所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6.,