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3.4四連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)
連桿機(jī)構(gòu)是最常用的機(jī)構(gòu)，因此連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中十分重要，研究工作開展得也最為廣泛。有大量的文獻(xiàn)介紹有關(guān)平面四桿機(jī)構(gòu)、平面五桿機(jī)構(gòu)、柔性連桿機(jī)構(gòu)、曲柄連桿機(jī)構(gòu)、槽輪連桿機(jī)構(gòu)、凸輪連桿組合機(jī)構(gòu)和齒輪連桿等機(jī)構(gòu)的優(yōu)化。鑒于四連桿機(jī)構(gòu)的典型性，本節(jié)結(jié)合四連桿機(jī)構(gòu)的函數(shù)再現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，闡述連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化問題的一般方法及流程。
四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)就是對(duì)四連桿機(jī)構(gòu)的參量進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，使得機(jī)構(gòu)給定的運(yùn)動(dòng)和機(jī)構(gòu)所實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)之間誤差最小。因此四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程，就是尋找使得四連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差最小的一組機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參量。四連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參量確定后，就可認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。
四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)包括四連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型建立和優(yōu)化模型求解二個(gè)主要過程。通過對(duì)四連桿機(jī)構(gòu)的分析確定優(yōu)化方案，確定設(shè)計(jì)變量，給出目標(biāo)函數(shù)，并將機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)制約條件，如桿長條件、傳動(dòng)角條件等，寫成相應(yīng)的約束條件，即可建立機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。
下面介紹四連桿機(jī)構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立。連桿機(jī)構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)設(shè)計(jì)主要通過選取輸人構(gòu)件和輸出構(gòu)件相對(duì)應(yīng)若干位置、采用機(jī)構(gòu)圖解法或分析法確定機(jī)構(gòu)各參數(shù)。圖1是典型的平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，、、和分別表示于四個(gè)構(gòu)件的長度，桿AB是輸入構(gòu)件。假設(shè)圖1所示的平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)再現(xiàn)給定函數(shù)為，即，則機(jī)構(gòu)位置取決于、、、鉸鏈A的位置、AD與機(jī)架x軸夾角以及輸人構(gòu)件轉(zhuǎn)角等七個(gè)變量。
為簡(jiǎn)化問題，可令A(yù)的位置為，，構(gòu)件的長度為1(參考構(gòu)件)，由此可將問題維數(shù)降為四維，并不影響構(gòu)件輸入、輸出的函數(shù)關(guān)系。由此可以得到輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角外與輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系式：
（1）
機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)就是使得輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角與給定值在，所有位置上的誤差最小。因此機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)可用下式表示
（2）
當(dāng)輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角為時(shí)，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角外可由下式求得，
（3）
式中：
所以
（4）
將上式代入式（3），并令代表設(shè)計(jì)變量、、及，機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)可寫為：
（5）
????機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件應(yīng)根據(jù)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的實(shí)際情況確定。例如曲柄搖桿式四連桿機(jī)構(gòu)必須滿足如下關(guān)系式：
或
（6）
????如果機(jī)構(gòu)要求傳動(dòng)靈活可靠，則傳動(dòng)角應(yīng)滿足：
或
其中
從上式可知，傳動(dòng)角隨的變化而變化，當(dāng)為最大值時(shí)，為最小，為最小值時(shí)，為最大。要滿足上式條件，約束方程應(yīng)為：
曲柄搖桿機(jī)構(gòu)有，因此，約束方程為
（7）
????當(dāng)所選定的設(shè)計(jì)變量為構(gòu)件長度時(shí)，則構(gòu)件長度必須是正數(shù)，即約束方程為
式中是為了使構(gòu)件長度不小于而設(shè)的。
????此外，由于具體結(jié)構(gòu)尺寸的限制，往往對(duì)某些構(gòu)件的長度限定在某一范圍內(nèi)選取，例如連桿BC的長度最短為的倍，最長為的倍，即
則約束方程為
（8）
????下面介紹再現(xiàn)函數(shù)為的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。
????先變換給定函數(shù)為，并設(shè)輸人構(gòu)件初始角為，輸出構(gòu)件初始角為，選取輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)角為,輸出構(gòu)件的轉(zhuǎn)角為。當(dāng)輸入構(gòu)件從轉(zhuǎn)到時(shí)，輸出構(gòu)件從轉(zhuǎn)到，輸入構(gòu)件從轉(zhuǎn)到時(shí)，輸出構(gòu)件則從回到。顯然有及，即及。代入函數(shù)式得：
設(shè)將輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)角均分成20等分，則，取權(quán)因子，再令代表設(shè)計(jì)變量、、及，則由式（5）得曲柄連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為
????曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)約束條件如下：
????由式（6）得：
要求傳動(dòng)角滿足，由式（7）得：
根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸，要求各構(gòu)件長度相對(duì)機(jī)架的尺寸在給定的范圍內(nèi)，由式(8)得
因此曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下：
Min.
s.t.
????采用內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法和POWELL法求解曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。選擇初始懲罰參數(shù)，遞減函數(shù)e = 0.01，初始點(diǎn)，取懲罰函數(shù)法收斂精度，POWELL法目標(biāo)函數(shù)值收斂精度，一維搜索精度。
3.4.1確定設(shè)計(jì)變量
根據(jù)設(shè)計(jì)要求，由機(jī)械原理知識(shí)可知，設(shè)計(jì)變量有L1、L2、L3、L4、。將曲柄的長度取為一個(gè)單位長度1，其余三桿長可表示為L1的倍數(shù)。由圖1所示的幾何關(guān)系可知
為桿長的函數(shù)。另外，根據(jù)機(jī)構(gòu)在機(jī)器中的許可空間，可以適當(dāng)預(yù)選機(jī)架L4的長度，取L4=5，經(jīng)以上分析，只剩下L2、L3兩個(gè)獨(dú)立變量，所以，該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量為
因此。本優(yōu)化設(shè)計(jì)為一個(gè)二維優(yōu)化問題。
3.4.2建立目標(biāo)函數(shù)
按軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以將連桿上M點(diǎn)與預(yù)期軌跡點(diǎn)坐標(biāo)偏差最小為尋優(yōu)目標(biāo)，其偏差為和，如圖2。為此，把搖桿運(yùn)動(dòng)區(qū)間2到5分成S等分，M點(diǎn)坐標(biāo)有相應(yīng)分點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。將各分點(diǎn)標(biāo)號(hào)記作，根據(jù)均方根差可建立其目標(biāo)函數(shù)，即
，S為運(yùn)動(dòng)區(qū)間的分段數(shù)
于是由以上表達(dá)式便構(gòu)成了一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案（即給定），即可計(jì)算出均方根差。
圖 2
3.4.3確定約束條件
根據(jù)設(shè)計(jì)條件，該機(jī)構(gòu)的約束條件有兩個(gè)方面：一是傳遞運(yùn)動(dòng)過程中的最小傳動(dòng)角應(yīng)大于50度；二是保證四桿機(jī)構(gòu)滿足曲柄存在的條件。以此為基礎(chǔ)建立優(yōu)化線束條件。
①保證傳動(dòng)角
圖 3
按傳動(dòng)條件，根據(jù)圖3可能發(fā)生傳動(dòng)角最小值的位置圖，由余弦定理
（見圖3（a））
所以
（a）
（見圖3（b））
所以
（b）
式（a）、（b）為兩個(gè)約束條件，將，，，代入式（a）、（b），得
②曲柄存在的條件
按曲柄存在條件，由機(jī)械原理知識(shí)可知
，，
，
把它們寫成不等式約束條件（將，，，代入上式），得
經(jīng)過分析，上述七個(gè)約束條件式中，和為緊約束條件，為松約束條件，即滿足和的，必滿足不等式，所以本優(yōu)化問題實(shí)際起作用的只有和兩個(gè)不等式約束條件。
3.4.4寫出優(yōu)化數(shù)學(xué)模型
綜上所述，可得本優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為
即本優(yōu)化問題具有兩個(gè)不等式約束的二維約束優(yōu)化問題。