(精典整理)平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)點(diǎn)總結(jié) - 公共管理 -

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1、(精典整理)平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)點(diǎn)總結(jié) - 公共管理 - 平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)方法總結(jié) 一 .平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)： 平行四邊形矩形菱形正方形 圖形 1．邊： 1．邊： 1．邊： 1．邊： 且 ； 且 ； 且 ； 且 ； 2．角： ； 2．角： ； 2．角： ； 2．角： ； 一般 ； ； ； ； 性質(zhì) 3．對(duì)角線 3．對(duì)角線 3．對(duì)角線 3．對(duì)角線 ； ； ； ； 面積 二 .判斷（識(shí)別）方法小結(jié)： (1)識(shí)別平行四邊形的方法：（從邊、角、對(duì)角線3 方面） ①

2、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形； A D ②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； O B C ③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； ④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形； ⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 (2) 識(shí)別矩形的方法： （從定義、特殊元素（角、對(duì)角線） 3 方面） ①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形； （ Y 一個(gè) Rt ） ②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形； （ Y 對(duì)角線 = ） ③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （ 3個(gè) Rt ） ④對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。 （ 對(duì)角線互相平分 對(duì)角線

3、 = ） 1 (3)識(shí)別菱形的方法： （從定義、特殊元素（邊、對(duì)角線）3 方面） ①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（ Y一組 鄰邊= ） ②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（ Y對(duì)角線） ③四邊都相等的四邊形是菱形；（ 4邊 = ） ④對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。（ 對(duì)角線互相平分對(duì)角線） (4) 識(shí)別正方形的方法： （從邊、角、對(duì)角線 3 方面） 抓本質(zhì)： 矩形 + 菱形 ①有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形； （ Y 一組 鄰邊 = 一個(gè) Rt ） ②對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形； （ Y 對(duì)角線 對(duì)角線

4、 ） ③有一組鄰邊相等的矩形是正方形； （ 矩形 一組 鄰邊 = ） ④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形； （ 矩形 對(duì)角線 ） ⑤有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； （ 菱形 一個(gè) Rt ） ⑥對(duì)角線相等的菱形是正方形； （ 菱形 對(duì)角線 ） ⑦對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。 （ 對(duì)角線互相平分 對(duì)角線 對(duì)角線 ） 小結(jié)：把以上識(shí)別方法的編號(hào)分別填入下圖中的每一條帶方向的線上： （如平行四邊形的第一種識(shí)別 方法的編號(hào)為 (1) ①，其他方法類似） 三、其他性質(zhì)： 1、平行四邊形、矩形、菱形、正方形（平行四邊形系列圖形）：都具有

5、的 1）與面積有關(guān)的 ：任意一條對(duì)角線分得的兩部分面積 ___________；兩條對(duì)角線分得的四部分面積 ________。 推廣： 若一條直線過平行四邊形（系列圖形）對(duì)角線的交點(diǎn)，則直線被一組對(duì)邊截下的 線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線二等分平行四邊形（系列圖形）的面積。 2 （ 2 ）與對(duì)稱性有關(guān)的：平行四邊形、矩形、菱形、正方形（平行四邊形系列圖形）都是 ____________________ 圖形；但只有：矩形、菱形、正方形為_________________ 圖形；平行四邊形 ______________ 圖形。 即： 矩形、菱形、正方形既是_________

6、________ 圖形，又是 ____________圖形；平行四邊形只是 ______________ 圖形。 ○1 矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，對(duì)稱軸是各邊的垂直 平分線。 ○2 菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，對(duì)稱軸是對(duì)角線所在 的直線。 ○3 正方形是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線或?qū)蔷€所在的直線，也是中心對(duì)稱圖 形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)。 2、矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì) 正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì) 3、拓展知識(shí)： 1）三角形

7、的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線 2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。 推廣（靈活應(yīng)用） ： A （結(jié)合：三角形的中位線；三角形中位線定理；三角形相似） E 以右圖△ ABC 為例，在 ○ D 為 AB 中點(diǎn) D ○ E 為 AC 中點(diǎn) C 1 2 1 B 3 4 2 （ 3）菱形的面積：菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半。 推廣： 對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半。 （ 4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 四、梯形： 1、定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形

8、叫做梯形。 2、等腰梯形：兩腰相等的梯形是等腰梯形。 3 3、直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形 4、等腰梯形的性質(zhì)： ○1對(duì)稱性：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，上下底的中點(diǎn)連線所在的直線是對(duì)稱軸， ○2角：等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；同腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。 ○3 對(duì)角線：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 ○4 邊：兩腰相等；上下底不等。 5、等腰梯形的判定定理 同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。 6、等腰梯形的判定方法： ○1 先判定它是梯形，○ 2 再用兩腰相等或同一底上的兩個(gè)角相等來判定它是等腰梯形。 7、梯形常見的輔助線（解決梯形問題常用的方法：） 解梯形

9、問題常用的輔助線：如圖 1.延長兩腰交于一點(diǎn) 作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。 若是等腰梯形則得到等腰三角形。 2.平移一腰 作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形及三角形問題。 3.作高 作用：使梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形及矩形問題。 4.平移一條對(duì)角線 作用：（ 1）得到平行四邊形ACED ，使 CE=AD ， BE 等于上、下底的和 2）S 梯形 ABCD =S△DBE 4 等積變形：當(dāng)有一腰中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與一腰中點(diǎn)并延長交一個(gè)底的延長線。 作用：可得△ ADE ≌△ FCE， 所以使 S 梯形 ABCD =S△ABF 。 .基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練： 填空：

10、 1）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是平行四邊形； 2）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是矩形； 3）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是菱形； 4）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是正方形； 5）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的平行四邊形是矩形； 6）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的平行四邊形是菱形； 7）兩條對(duì)角線

11、___________________________ 的平行四邊形是正方形； 8）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的矩形是正方形； 9）兩條對(duì)角線 ___________________________ 的菱形是正方形。 2 已知：如圖，在Y ABCD 中， E、 F 分別為邊 AB 、 CD 的中點(diǎn)， BD 是對(duì)角線， AG ∥ DB 交 CB 的延長線于G． 求證：△ ADE ≌△ CBF； 若四邊形 BEDF 是菱形，猜測：四邊形 AGBD 是 什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． 5 四邊形練習(xí) 1． ABCD 中

12、，∠ A 的平分線分 BC 成 4cm 和 3cm 兩條線段， 則 ABCD 的周長為 ． 2．如圖，在ABCD 中，∠ C=60o,DE ⊥AB 于 E,DF⊥ BC 于 F． D （ 1）則∠ EDF= C ； （ 2）若 AE=4 ， CF=7 ，則 ABCD 周長 = ; F ABCD 面積 = A E B 。 3． (1) 在平行四邊形 ABCD 中，若∠ C=∠ B+∠ D，則∠ A= . (2) 已知在 ABCD ,∠ A 比∠ B 小 20o，則∠ C 的度數(shù)是 ． (3) 在 ABCD 中，周長為 100cm， AB

13、-BC=20cm ，則 AB= , BC=. （ 4）在 ABCD 中，周長為 30cm，且 AB ： BC=3 ： 2，則 AB= cm. （ 5）如圖， 若□ABCD 與□ EBCF 關(guān)于 BC 所在直線對(duì)稱， A D ∠ABE＝90，則∠ F ＝ ． B C 4．下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ） E F A ．矩形的對(duì)角線互相平分且相等 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．等腰梯形的兩條對(duì)角線相等 D．等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等 5.在下列命題中，正確的是（ ） A ．一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 B ．有一個(gè)角是直角的四邊形

14、是矩形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D ．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 6.下列錯(cuò)誤的是 A ．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B ．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C． 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 7.下列命題中，真命題是（ ） Ａ．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形 Ｂ．兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 Ｃ．兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 6 Ｄ．兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 8．已知矩形的對(duì)角線長為 13，周長為 34，則這個(gè)矩形的面積為 ． 9.如圖，梯形紙片

15、 ABCD， ∠ B=60， AD∥ BC， AB=AD=2， BC=6，將紙片折疊，使點(diǎn) B 與點(diǎn) D 重合， 折痕為 AE，則 CE=___________. A D B D C E B E C A F B 第 9 題圖 第 10 題圖 10.如圖，折疊矩形的一邊 CD，使點(diǎn) C 落在 AB上的點(diǎn) F 處，已知 AB=10cm， BC=8cm，則 EC的長為 ________. 11、如圖， AD 是△ ABC 的角平分線 .DE∥ AC 交 AB 于 E， DF ∥ AB 交 AC 于 F.四邊形 AEDF 是菱形 嗎？說明你的理由 .

16、 （不用全等，你可以做出來嗎？試試看） 12、如圖，已知ABCD 的對(duì)角線交于O，過 O 作直線交 AB、CD 的反向延長線于E、F，求證：OE=OF. 7 13、如圖，等腰△ABC 中， AB=AC,D 是 BC 邊上的一點(diǎn)， DE ∥ AC ，DF∥ AB ，通過觀察分析線 DE ， DF ， AB 三者之間有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)論成立的理由。 ?。ú挥萌?，你可以做出來嗎？試試看） 14、如圖，在 □ ABCD 中， E、F 分別是 BC、AD 上的點(diǎn)，且AE∥CF ，AE 與 CF 相等嗎？說明理由. （不用全等，你可以做出來嗎？試試看） 15、四邊形ABCD 是等腰梯形，其中AD =BC，若 AD=5， CD=2， AB=8，求梯形ABCD 面積 .（關(guān)鍵 是會(huì)畫出正確的圖形） 8 16、以銳角△ ABC 的邊 AC、 AB 為邊向外作正方形ACDE 和正方形 ABGF ，連結(jié) BE、 CF， 1）試探索 BE 和 CF 的關(guān)系？并說明理由 . 2）你能找到哪兩個(gè)圖形可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角. 9