《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié)函數(shù)的極值與 最大值最小值 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱 為 的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn),稱 為函數(shù)的極大值極大值;(2)則稱 為 的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn),稱 為函數(shù)的極小值極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如例如,為極大值點(diǎn),是極大值 是極小值 為極小值點(diǎn),函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 1(極值第一判別法極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左左正正右右負(fù)負(fù)”,(2)“左左負(fù)負(fù)右右正正”,(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放暫停目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求函數(shù)求函數(shù)的極值.解解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2(極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則 在點(diǎn) 取極大值;則 在點(diǎn) 取極小值.證證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求函數(shù)的極值.解解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故 為極小值;又故需用第一判別法判別.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3(判別法的推廣判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng) 充分接近 時(shí),上式左端正負(fù)號由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證證:利用 在 點(diǎn)的泰勒公式,可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1 定理3)都是充分的.說明說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如例如:為極大值,但不滿足定理1 定理3 的條件.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法:(1)求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別特別:當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值,則也是最大 值.(小)對應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解解:顯然且故函數(shù)在取最小值 0;在及取最大值 5.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此也可通過例例3.求函數(shù)說明說明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(k 為某常數(shù))例例4.鐵路上 AB 段的距離為100 km,工廠C 距 A 處20AC AB,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B 運(yùn)到工 20解解:設(shè)則令得 又所以 為唯一的極小值點(diǎn),故 AD=15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問D點(diǎn)應(yīng)如何取?km,公路,價(jià)之比為3:5,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 用開始移動(dòng),例例6.設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上,受力 F 作解解:克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.設(shè)摩擦系數(shù)問力F 與水平面夾角 為多少時(shí)才可使力F 的大小最小?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令解得而因而 F 取最小值.解解:即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 清楚(視角 最大)?觀察者的眼睛1.8 m,例例7.一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解解:設(shè)觀察者與墻的距離為 x m,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 存在一個(gè)取得最大利潤的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來.售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是例例8.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 千件的成本是解解:售出 x 千件產(chǎn)品的利潤為問是否故在 x2=3.414千件處達(dá)到最大利潤,而在 x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本稱為邊際收入稱為邊際利潤由此例分析過程可見,在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上即邊際收入邊際成本（見右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正正變負(fù)負(fù)為極大值過由負(fù)負(fù)變正正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣定理3 定理3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.設(shè)則在點(diǎn) a 處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示:利用極限的保號性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示提示:利用極限的保號性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示提示:A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P162 1(5),(9);2;3;5 ;10;14;15 第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試問 為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解解:由題意應(yīng)有又備用題備用題 1.求出該極值,并指出它是極大即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求解解:2.故所求最大值為第六節(jié)
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