《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充補(bǔ)充)三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及 x 軸所圍曲則邊梯形面積為 A,右下圖所示圖形面積為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解解:由得交點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.計(jì)算拋物線與直線的面積.解解:由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取 y 作積分變量,則有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.求橢圓解解:利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng) a=b 時(shí)得圓面積公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.求由擺線的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積.解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng) 從 0 變例例5.計(jì)算阿基米德螺線解解:到 2 所圍圖形面積.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 心形線 例例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解解:(利用對(duì)稱性)心形線目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解解:利用對(duì)稱性,所求面積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8.求雙紐線所圍圖形面積.解解:利用對(duì)稱性,則所求面積為思考思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案答案:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義:若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理定理:任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)則稱目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長(zhǎng).解解:下垂懸鏈線方程為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10.求連續(xù)曲線段解解:的弧長(zhǎng).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11.計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例12.求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng).解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13.計(jì)算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解解:方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a 時(shí),就得半徑為a 的球體的體積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例14.計(jì)算擺線的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸,y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注注注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 柱殼體積說(shuō)明說(shuō)明:柱面面積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偶函數(shù)奇奇函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15.設(shè)在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且 形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證證:利用柱殼法則故目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例16.一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心,并與底面交成 角,解解:如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:可否選擇 y 作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示提示:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:垂直 x 軸的截面是橢圓例例17.計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng) a=b=c 時(shí)就是球體體積.的體積.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例18.求曲線與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(1994 考研)解解:利用對(duì)稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 側(cè)面積元素若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的注意注意:側(cè)面積為的線性主部.不是薄片側(cè)面積S 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例19.計(jì)算圓x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S.解解:對(duì)曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高 h 2 R 時(shí),得球的表面積公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例20.求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S.解解:利用對(duì)稱性繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 星形線 星形線目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.已知平行截面面積函數(shù) A(x)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞 x 軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)繞 y 軸:(柱殼法)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s.提示提示:交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以 x 為積分變量,則要分兩段積分,故以 y 為積分變量.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.試用定積分求圓繞 x 軸上上半圓為下下求體積:提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法方法2 用柱殼法說(shuō)明說(shuō)明:上式可變形為上上半圓為下下此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如圖所示).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求側(cè)面積求側(cè)面積:利用對(duì)稱性上式也可寫(xiě)成上上半圓為下下它也反映了環(huán)面元素的另一種取法:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P284 2(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;22;25;27;30 面積及弧長(zhǎng)部分面積及弧長(zhǎng)部分：體積及表面積部分：體積及表面積部分：P286 13;14;15(1),(4);17;18補(bǔ)充題補(bǔ)充題:設(shè)有曲線 過(guò)原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題解：解：1.求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.又故在區(qū)域目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分析曲線特點(diǎn)2.解解:與 x 軸所圍面積由圖形的對(duì)稱性,也合于所求.為何值才能使與 x 軸圍成的面積等故目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.求曲線圖形的公共部分的面積.解解：與所圍成得所圍區(qū)域的面積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)平面圖形 A 由與所確定,求圖形 A 繞直線 x 2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.提示：提示：選 x 為積分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為4.若選 y 為積分變量,則
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