《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)一、一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第九章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例引例:研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的 x 固定于 x0 處,求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).關(guān)于 t 的將振幅目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意注意:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z=f(x,y)在域 D 內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì) x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),記為或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,三元函數(shù) u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線對(duì) y 軸的目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如,注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 在上節(jié)已證 f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.求解法解法1解法解法2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.設(shè)證證:例例3.求的偏導(dǎo)數(shù).解解:求證目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證證:說明說明:(R 為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z=f(x,y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z=f(x,y)關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.求函數(shù)解解:注意注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,二者不等目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：證：利用對(duì)稱性,有方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則定理定理.例如例如,對(duì)三元函數(shù) u=f(x,y,z),說明說明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義;記號(hào);幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示:P129 題 5P129 題 5,6即 xy0 時(shí),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P129 題6(1)(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P68 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 設(shè)方程確定 u 是 x,y 的函數(shù),連續(xù),且求解解:
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