《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對坐標(biāo)的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.引例引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)“大化小大化小”.2)“常代變常代變”把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F 沿則用有向線段 上任取一點(diǎn)在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)“近似和近似和”4)“取極限取極限”(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長度)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.定義定義.設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分.其中,L 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線.稱為被積函數(shù)被積函數(shù),在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 為空間曲線弧,記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記,對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.性質(zhì)性質(zhì)(1)若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧(2)用L 表示 L 的反向弧,則則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明:對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向!目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明證明:下面先證存在,且有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對應(yīng)參數(shù)因?yàn)長 為光滑弧,同理可證目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別是,如果 L 的方程為則對空間光滑曲線弧 :類似有定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算其中L 為沿拋物線解法解法1 取 x 為參數(shù),則解法解法2 取 y 為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.計(jì)算其中 L 為(1)半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn) A(a,0)沿 x 軸到點(diǎn) B(a,0).解解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取 L 的方程為則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線 (2)拋物線 (3)有向折線 解解:(1)原式(2)原式(3)原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿 移動(dòng)到解解:(1)(2)的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中 為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.求其中從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解解:取 的參數(shù)方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似地,在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記 A 在 t 上的投影為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二者夾角為 例例6.設(shè)曲線段 L 的長度為s,證明續(xù),證證:設(shè)說明說明:上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.將積分化為對弧長的積分,解：解：其中L 沿上半圓周目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成 k 條有向光滑曲線弧(2)L 表示 L 的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.計(jì)算 對有向光滑弧 對有向光滑弧目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.兩類曲線積分的聯(lián)系 對空間有向光滑弧:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示提示:(解見 P196 例5)F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.已知為折線 ABCOA(如圖),計(jì)算提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P198 3 (2),(4),(6),(7);4;5;7;8第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.解解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xOy 面的距離成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場F 作用下由點(diǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)曲線C為曲面與曲面從 O x 軸正向看去為逆時(shí)針方向,(1)寫出曲線 C 的參數(shù)方程;(2)計(jì)算曲線積分解解:(1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)原式=令利用“偶倍奇零”
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