《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求 和展 開本節(jié)本節(jié)內(nèi)容內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、泰勒一、泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù) 其中(在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng).則在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):f(x)的 n 階泰勒公階泰勒公式式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n+1 階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為f(x)的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0 時(shí),泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù).1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為 f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.各階導(dǎo)數(shù),則 f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是 f(x)的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明證明:令設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.若 f(x)能展成 x 的冪級數(shù),唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證證:設(shè) f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.則這種展開式是目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1.直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x=0 處的值;第二步 寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑 R;第三步 判別在收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解:其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x,其余項(xiàng)滿足故(在0與x 之間)故得級數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.將展開成 x 的冪級數(shù).解解:得級數(shù):其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x,其余項(xiàng)滿足目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對上式兩邊求導(dǎo)可推出:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解解:易求出 于是得 級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù) m,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推導(dǎo) 推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式.說明：說明：(1)在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān).(2)當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí),級數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式,上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.間接展開法間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例例4.將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解:因?yàn)榘?x 換成,得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解:從 0 到 x 積分,得定義且連續(xù),域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.將展成解解:的冪級數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.將展成 x1 的冪級數(shù).解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法 利用泰勒公式;(2)間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) m=1 時(shí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級數(shù)”與“能展成泰勒級數(shù)”有何不同?提示提示:后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級數(shù)?提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P283 2 (2),(3),(5),(6);3(2);4 ;6 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)解解:x 1 時(shí),此級數(shù)條件收斂,因此 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.將在x=0處展為冪級數(shù).解解:因此
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類型：共享資源
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上傳時(shí)間：2022-03-30
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