《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二階微分方程的 習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用二、微分方程的應(yīng)用 解法及應(yīng)用 一、兩類(lèi)二階微分方程的解法一、兩類(lèi)二階微分方程的解法 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、兩類(lèi)二階微分方程的解法一、兩類(lèi)二階微分方程的解法 1.可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法令令逐次積分求解 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法 歐拉方程練習(xí)題練習(xí)題:P353 題 2(2);3(6),(7);4(2)；目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解答提示解答提示P353 題題2(2)求以為通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353 題題3 求下列微分方程的通解提示提示:(6)令則方程變?yōu)槟夸?上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思思 考考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P354 題題4(2)求解提示提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考思考若問(wèn)題改為求解則求解過(guò)程中得問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定正負(fù)號(hào)如何確定?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特征根:例例1.求微分方程提示提示:故通解為滿(mǎn)足條件解滿(mǎn)足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定 A,B,得得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 處的銜接條件可知,解滿(mǎn)足故所求解為其通解:定解問(wèn)題的解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.且滿(mǎn)足方程提示提示:則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:設(shè)提示提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的解.例例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將 xx(y)所滿(mǎn)足的微分方程 變換為 yy(x)所滿(mǎn)足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件 數(shù),且解解:上式兩端對(duì) x 求導(dǎo),得(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研考研)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 代入原微分方程得 (2)方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)的特解為 代入得 A0,從而得的通解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由初始條件 得故所求初值問(wèn)題的解為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、微分方程的應(yīng)用二、微分方程的應(yīng)用 1.建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問(wèn)題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問(wèn)題3.分析解所包含的實(shí)際意義 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球 引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m,地球質(zhì)量為 M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為 h,由牛頓第二定律得:(G 為引力系數(shù))則有初值問(wèn)題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 代入原方程,得兩邊積分得利用初始條件,得因此注意到 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即代入即得這說(shuō)明第二宇宙速度為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律例例5.上的力 F 所作的功與經(jīng)過(guò)的時(shí)間 t 成正比(比例系數(shù)提示提示:兩邊對(duì) s 求導(dǎo)得:牛頓第二定律為 k),開(kāi)方如何定開(kāi)方如何定+?已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),作用在質(zhì)點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子 8 m,另一端離釘子 12 m,力,求鏈條滑下來(lái)所需的時(shí)間.解解:建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻 t,鏈條較長(zhǎng)一段下垂 x m,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由牛頓第二定律,得如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由初始條件得故定解問(wèn)題的解為解得(s)微分方程通解:當(dāng) x=20 m 時(shí),思考思考:若摩擦力為鏈條 1 m 長(zhǎng)的質(zhì)量,定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是什么?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 摩擦力為鏈條 1 m 長(zhǎng)的質(zhì)量 時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為此時(shí)鏈條滑下來(lái)所需時(shí)間為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)題練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開(kāi)始下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正 比,比例系數(shù)為 k(k 0),試建立 y 與 v 所滿(mǎn)足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式 y=y(v).(1995考研)提示提示:建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 初始條件為用分離變量法解上述初值問(wèn)題得 作業(yè)作業(yè) P348 4 ,6 ;P353 3(8);4(2),(4)；7;*11(1)得質(zhì)量 m體積 B第十一節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 有特而對(duì)應(yīng)齊次方程有解微分方程的通解.解解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故再積分得通解復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一階線性微分方程 通解公式:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.設(shè)函數(shù)在 r 0內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯方程二階可導(dǎo),試將方程化為以 r 為自變量的常微分 方程,并求 f(r).提示提示:利用對(duì)稱(chēng)性,即(歐拉方程歐拉方程)原方程可化為且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解初值問(wèn)題:則原方程化為 通解:利用初始條件得特解:
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