《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點點,線線,面面基本方法基本方法 坐標法坐標法;向量法向量法坐標坐標,方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量:模為 1 的向量,零向量:模為 0 的向量,有向線段 M1 M2,或 a,記作 e 或e.或 a.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量 a 與 b大小相等,方向相同,則稱 a 與 b 相等,記作 ab;若向量 a 與 b 方向相同或相反,則稱 a 與 b 平行,ab;與 a 的模相同,但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱 兩向量共線.若 k(3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此 k 個向量共面.記作a;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、向量的線性運算二、向量的線性運算1.向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.向量的減法向量的減法三角不等式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見3.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù),規(guī)定:總之:運算律:結(jié)合律分配律因此 與 a 的乘積是一個新向量,記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.設(shè) a 為非零向量,則(為唯一實數(shù))證證:“”.,取 且再證數(shù) 的唯一性.則ab設(shè) ab反向時取負號,a,b 同向時取正號則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束“”則例例1.設(shè) M 為解解:ABCD 對角線的交點,已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 O,坐標面 卦限(八個)1.空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念zOx面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在直角坐標系下向徑坐標軸上的點 P,Q,R;坐標面上的點 A,B,C點點 M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0);目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 坐標軸:坐標面:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.向量的坐標表示向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設(shè)點 M 則沿三個坐標軸方向的分向量分向量,的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.記記 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算則平行向量對應(yīng)坐標成比例:設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求解以向量為未知元的線性方程組解解:2 3,得代入得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.已知兩點在AB所在直線上求一點 M,使解解:設(shè) M 的坐標為如圖所示及實數(shù)得即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:由得定比分點公式定比分點公式:點 M 為 AB 的中點,于是得中點公式中點公式:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求證以證證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.在 z 軸上求與兩點等距解解:設(shè)該點為解得故所求點為及思考思考:(1)如何求在 xOy 面上與A,B 等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B 等距離之點的軌跡方程?離的點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)如何求在 xOy 面上與A,B 等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B 等距離之點的軌跡方程?提示提示:(1)設(shè)動點為利用得(2)設(shè)動點為利用得且例例6.已知兩點解解:求AB的單位向量 e.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 任取空間一點 O,稱 =AOB(0 )為向量 的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角,為其方向角方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方向余弦的性質(zhì):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解解:計算向量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.設(shè)點 A 位于第一卦限,解解:已知角依次為求點 A 的坐標.則因點 A 在第一卦限,故于是故點 A 的坐標為 向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二節(jié) 則 a 在軸 u 上的投影為 例如,在坐標軸上的投影分別為 設(shè) a 與 u 軸正向的夾角為,即 投影的性質(zhì)投影的性質(zhì)2)1)(為實數(shù))目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.第二節(jié) 設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為 OA,且 求OA 在 OM 方向上的投影.解解:如圖所示,記 MOA=,作業(yè)作業(yè) P12 3,5,13,14,15,18,19目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題解解:因1.設(shè)求向量在 x 軸上的投影及在 y 軸上的分向量.在 y 軸上的分向量為故在 x 軸上的投影為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為 對角線的長為解：解：為邊的平
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