《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第七節(jié)曲線(xiàn)的彎曲程度與切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)有關(guān)主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式 三、三、曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 平面曲線(xiàn)的曲率 第三三章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、弧微分弧微分設(shè)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則弧長(zhǎng)微分公式為或幾何意義幾何意義:若曲線(xiàn)由參數(shù)方程表示:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 開(kāi)始取弧段,其長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)切線(xiàn)定義弧段 上的平均曲率點(diǎn) M 處的曲率注意注意:直線(xiàn)上任意點(diǎn)處的曲率為 0!轉(zhuǎn)角為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解解:如圖所示,可見(jiàn):R 愈小,則K 愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R 愈大,則K 愈小,圓弧彎曲得愈小.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率曲率K 的計(jì)算公式的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線(xiàn)弧則由目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:(1)若曲線(xiàn)由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線(xiàn)方程為則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn)作緩和曲線(xiàn),處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停說(shuō)明說(shuō)明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車(chē)平穩(wěn)安全,求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn)且 l R.其中R是圓弧彎道的半徑,l 是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn)作緩和曲線(xiàn),且 l R.處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l 是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度,求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn)解解:顯然目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.求橢圓在何處曲率最大?解解:故曲率為K 最大最小求駐點(diǎn):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)從而 K 取最大值.這說(shuō)明橢圓在點(diǎn)處曲率計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.K 最大最小目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑設(shè) M 為曲線(xiàn) C 上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線(xiàn)把以 D 為中心,R 為半徑的圓叫做曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的曲率圓(密切圓),R 叫做曲率半徑,D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線(xiàn)有下列密切關(guān)系:(1)有公切線(xiàn);(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn),的凹向一側(cè)法線(xiàn)上取點(diǎn) D 使目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)曲線(xiàn)方程為且求曲線(xiàn)上點(diǎn)M 處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿(mǎn)足方程組的坐標(biāo)公式.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 滿(mǎn)足方程組由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào))當(dāng)點(diǎn) M(x,y)沿曲線(xiàn) 移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱(chēng)為曲線(xiàn) C 的漸屈線(xiàn)漸屈線(xiàn),相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線(xiàn) C 稱(chēng)為曲線(xiàn) G 的漸伸線(xiàn)漸伸線(xiàn).屈線(xiàn)的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過(guò)才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損,或有的地方磨不到的問(wèn)題.例例3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(仍為擺線(xiàn))例例5.求擺線(xiàn)的漸屈線(xiàn)方程.解解:代入曲率中心公式,得漸屈線(xiàn)方程 擺線(xiàn) 擺線(xiàn)擺線(xiàn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.弧長(zhǎng)微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑曲率中心目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線(xiàn)有何密切關(guān)系?答答:有公切線(xiàn);凹向一致;曲率相同.2.求雙曲線(xiàn)的曲率半徑 R,并分析何處 R 最小?解解:則利用目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)第八節(jié) P177 4；5；7；8；*9
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