《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點 函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 1.設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證證:無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解解:令得故的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:1)單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.證明時,成立不等式證證:令從而因此且證證證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸凸的.二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點拐點.拐點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.(凹凸判定法)(1)在 I 內(nèi)則 f(x)在 I 內(nèi)圖形是凹的;(2)在 I 內(nèi)則 f(x)在 I 內(nèi)圖形是凸的.證證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.判斷曲線的凹凸性.解解:故曲線在上是向上凹的.說明說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在 兩側(cè)異號異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求曲線的拐點.解解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)例例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示提示:利用單調(diào)增加,及B1.設(shè)在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示提示:及及作業(yè)作業(yè) P152 3(1),(7);5(2),(4);9(3),(6);10(3);13;14;*15 ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線 證明：證明：備用題備用題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.=目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明:當(dāng)時,有證明證明:令,則是凸凸函數(shù)即2.(自證)第五節(jié)
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