《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分的計(jì)算法 第十章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為 X-型區(qū)域 則若D為Y-型區(qū)域則一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)均非負(fù)在D上變號(hào)變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明說明:(1)若積分區(qū)域既是 X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算其中D 是直線 y1,x2,及yx 所圍的閉區(qū)域.解法解法1.將D看作X-型區(qū)域,則解法解法2.將D看作Y-型區(qū)域,則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.計(jì)算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解解:由被積函數(shù)可知,因此取D 為X-型域:先對(duì) x 積分不行,說明說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.交換下列積分順序解解:積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.計(jì)算其中D 由所圍成.解解:令(如圖所示)顯然,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓 r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線 =常數(shù),分劃區(qū)域D 為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)則特別特別,對(duì)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此時(shí)若 f 1 則可求得D 的面積思考思考:下列各圖中域 D 分別與 x,y 軸相切于原點(diǎn),試答答:問 的變化范圍是什么?(1)(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.計(jì)算其中解解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注:利用上題可得一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,故式成立.又目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解解:設(shè)由對(duì)稱性可知目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 定積分換元法滿足一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆.用平行于坐標(biāo)軸的 直線分割區(qū)域 任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在 xOy 面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理得當(dāng)h,k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形,故其面積近似為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8.計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域.解解:令則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S.解解:令則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10.試計(jì)算橢球體解解:由對(duì)稱性令則D 的原象為的體積V.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示提示:交換積分順序后,x,y互換 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.交換積分順序提示提示:積分域如圖目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P152 1(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4);*19(1);*20(2)第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：解：原式備用題備用題1.給定改變積分的次序.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.計(jì)算其中D 為由圓所圍成的及直線解：解：平面閉區(qū)域.
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