《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 二元函數(shù)的泰勒公式 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 記號記號(設(shè)下面涉及的偏導數(shù)連續(xù)):一般地,表示表示目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1 1.的某一鄰域內(nèi)有直到 n+1 階連續(xù)偏導數(shù),為此鄰域內(nèi)任 一點,則有其中 稱為f 在點(x0,y0)的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項朗日型余項.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:令則 利用多元復合函數(shù)求導法則可得:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般地,由 的麥克勞林公式,得 將前述導數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(1)余項估計式.因 f 的各 n+1 階偏導數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對值必有上界 M,則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)當 n=0 時,得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D 上的兩個一階偏導數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上 定理1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求函數(shù)解解:的三階泰勒公式.因此,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時,具有極值二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A 0 時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理定理2(充分條件)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中其中,是當h 0,k 0 時的無窮小量,于是(1)當 ACB2 0 時,必有 A0,且 A 與C 同號,可見,從而z0,因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從而 z0,(2)當 ACB2 0 時,若A,C不全為零,無妨設(shè) A0,則 時,有異號;同號.可見 z 在(x0,y0)鄰近有正有負,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束+若 AC 0,則必有 B0,不妨設(shè) B0,此時 可見 z 在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當ACB2 0 時,若 A0,則若 A0,則 B0,為零或非零目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此時因此 作業(yè)作業(yè)P123 1,3,4,5第十節(jié) 不能斷定(x0,y0)是否為極值點.
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