《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用*四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x,面積為 A,則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱(chēng)為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的微分微分,定義定義:若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為(A 為不依賴(lài)于x 的常數(shù))則稱(chēng)函數(shù)而 稱(chēng)為記作即定理定理:函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是即在點(diǎn)可可微微,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理:函數(shù)證證:“必要性必要性”已知在點(diǎn) 可微,則故在點(diǎn) 可導(dǎo),且在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理:函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件充要條件是在點(diǎn) 處可導(dǎo),且即“充分性充分性”已知即在點(diǎn) 可導(dǎo),則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 微分的幾何意義當(dāng) 很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,記作記目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見(jiàn) P116表)又如又如,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則設(shè) u(x),v(x)均可微,則(C 為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.求 解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.設(shè)求 解解:利用一階微分形式不變性,有例例3.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明說(shuō)明:上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.注意:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則使用原則:得近似等式:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式常用近似公式:很小)證明證明:令得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的近似值.解解:設(shè)取則例例4.求目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的近似值.解解:例例5.計(jì)算目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.有一批半徑為1cm 的球,為了提高球面的光潔度,解解:已知球體體積為鍍銅體積為 V 在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計(jì)一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為 0.01cm,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束*四、四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為 A,其近似值為 a,稱(chēng)為a 的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差稱(chēng)為a 的相對(duì)誤差相對(duì)誤差若稱(chēng)為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限稱(chēng)為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 誤差傳遞公式誤差傳遞公式:已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算 y 值時(shí)的誤差故 y 的絕對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為若直接測(cè)量某量得 x,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑 測(cè)量D 的 絕對(duì)誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解解:計(jì)算 A 的絕對(duì)誤差限約為 A 的相對(duì)誤差限約為試估計(jì)面積的誤差.計(jì)算(mm2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導(dǎo)2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u 是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5.設(shè)由方程確定,解解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得求6.設(shè) 且則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P123 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);*12習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.已知求解解：因?yàn)樗詡溆妙}備用題目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 已知求解解:方程兩邊求微分,得2.習(xí)題課
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