《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 對(duì)面積的曲面積分 第十一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì) “大化小,常代變,近似和,求極限”的方法,量 M.其中,表示 n 小塊曲面的直徑的(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).最大值目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義:設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中 f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù) f(x,y,z)在曲面 上對(duì)面積函數(shù),叫做積分曲面.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則對(duì)面積的曲面積分存在.對(duì)積分域的可加性.則有 線性性質(zhì).在光滑曲面 上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.積分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在 上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明證明:由定義知目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 而(光滑)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.(見本節(jié)后面的例4,例5)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算曲面積分其中 是球面被平面截出的頂部.解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下兩部分,則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.計(jì)算其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解解:設(shè)上的部分,則與 原式=分別表示 在平面 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.設(shè)計(jì)算解解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xOy 面上的投影域?yàn)閯t 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:若例3 中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解:設(shè) 的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)思考題思考題:例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.計(jì)算解解:取球面坐標(biāo)系,則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.計(jì)算其中 是球面利用對(duì)稱性可知解解:顯然球心為半徑為利用重心公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.計(jì)算其中 是介于平面之間的圓柱面分析分析:若將曲面分為前后(或左右)則解解:取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8.求橢圓柱面位于 xOy 面上方及平面 z=y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S.解解:取目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度 h=36000 km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑 R=6400 km)解解:建立坐標(biāo)系如圖,記覆蓋曲面 的半頂角為,利用球面坐標(biāo)系,則 衛(wèi)星覆蓋面積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球 以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說(shuō)明說(shuō)明:此題也可用二重積分求 A.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)P217 題1；3；4(1);7 解答提示解答提示:P217 題1.P217 題3.設(shè)則P244 題2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P217 題4(1).在 xOy 面上的投影域?yàn)檫@是 的面積!目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P218 題7.如圖所示,有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P244 題2.限中的部分,則有().(2000 考研)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) P217 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.已知曲面殼求此曲面殼在平面 z=1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M.解解:在 xOy 面上的投影為 故目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.設(shè) 是四面體面,計(jì)算解解:在四面體的四個(gè)面上同上平面方程投影域目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同上平面方程投影域
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