《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用目的用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).理論分析近似計(jì)算泰勒公式 第三三章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特點(diǎn):一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x 的一次多項(xiàng)式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:故令則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì)令(稱(chēng)為余項(xiàng)),則有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式 稱(chēng)為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式.公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng).泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有其中則當(dāng)泰勒 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式 稱(chēng)為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano)余項(xiàng)余項(xiàng).在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫(xiě)為注意到*可以證明:式成立目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特例特例:(1)當(dāng) n=0 時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng) n=1 時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見(jiàn)誤差目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱(chēng)為麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)公式公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 麥克勞林公式麥克勞林公式 類(lèi)似可得其中目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 已知其中因此可得麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差M 為在包含 0,x 的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類(lèi)型:1)已知 x 和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù) n;2)已知項(xiàng)數(shù) n 和 x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限,確定公式中 x 的適用范圍.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值,使誤差不超過(guò)解解:已知令 x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng) n=9 時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò)總誤差限為這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過(guò)因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.用近似公式計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005,試確定 x 的適用范圍.解解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3.求解解:由于用洛必達(dá)法則不方便!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4.證明證證:+目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式(P142 P144)3.泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式 等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) 例如 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 計(jì)算解解:原式第四節(jié) 作業(yè)作業(yè) P145 1;4;5;7;8;*10(1),(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證:由題設(shè)對(duì)備用題備用題 1.有且點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 下式減上式,得令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩邊同乘 n!=整數(shù)+假設(shè) e 為有理數(shù)(p,q 為正整數(shù)),則當(dāng) 時(shí),等式左邊為整數(shù);矛盾!2.證明 e 為無(wú)理數(shù).證證:時(shí),當(dāng)故 e 為無(wú)理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).
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