《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結束*三、環(huán)流量與旋度三、環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 第七節(jié)一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關的條件二、空間曲線積分與路徑無關的條件 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一一、斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1.設光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式斯托克斯公式)個空間域內具有連續(xù)一階偏導數(shù),的側與 的正向符合右手法則,在包含 在內的一證證:情形情形1.與平行 z 軸的直線只交于 一點,設其方程為為確定起見,不妨設 取上側(如圖).則有簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則(利用格林公式)定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 情形情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個,則可通過作輔助線把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意注意:如果 是 xOy 面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.利用斯托克斯公式計算積分其中 為平面 x+y+z=1 被三坐標面所截三角形的整解解:記三角形域為,取上側,則個邊界,方向如圖所示.利用對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.為柱面與平面 y=z 的交線,從 z 軸正向看為順時針,解解:設 為平面 z=y 上被 所圍橢圓域,且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式其他形式 計算目錄 上頁 下頁 返回 結束*二、空間曲線積分與路徑無關的條件二、空間曲線積分與路徑無關的條件定理定理2.設 G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內任一分段光滑曲線,與路徑無關(3)在G內存在某一函數(shù) u,使(4)在G內處處有目錄 上頁 下頁 返回 結束(2)對G內任一分段光滑曲線,與路徑無關(3)在G內存在某一函數(shù) u,使證證:由斯托克斯公式可知結論成立;(自證)設函數(shù) 則定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束(3)在G內存在某一函數(shù) u,使(4)在G內處處有同理可證 故有若(3)成立,則必有因P,Q,R 一階偏導數(shù)連續(xù),故有同理 證畢定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 與路徑無關,解解:令 積分與路徑無關,因此例例3.驗證曲線積分定理2 并求函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束*三、三、環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令,引進一個向量記作向量 rot A 稱為向量場 A 的稱為向量場 A 定義定義:沿有向閉曲線 的環(huán)流量環(huán)流量.或 于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.目錄 上頁 下頁 返回 結束 設某剛體繞定軸 l 轉動,M 為剛體上任一點,建立坐標系如圖,則角速度為,點 M 的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學意義旋度的力學意義:目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量場 A 產生的旋度場 穿過 的通量 注意 與 的方向形成右手系!向量場 A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意義的物理意義:例例4.求電場強度 的旋度.解解:(除原點外)這說明,在除點電荷所在原點外,整個電場無旋.目錄 上頁 下頁 返回 結束 的外法向量,計算解解:例例5.設目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1.斯托克斯公式斯托克斯公式也可寫成:其中A 的旋度A在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影目錄 上頁 下頁 返回 結束 在 內與路徑無關在 內處處有在 內處處有2.空間曲線積分與路徑無關的充要條件空間曲線積分與路徑無關的充要條件設 P,Q,R 在 內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.場論中的三個度場論中的三個度設 梯度梯度:散度散度:旋度旋度:則目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習則提示提示:三式相加即得目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P243 *2(1),(4);*3(1),(3);*4(1);*5(2);*7補充題:證明 習題課
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