《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*三、環(huán)流量與旋度三、環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 第七節(jié)一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一一、斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1.設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與 的正向符合右手法則,在包含 在內(nèi)的一證證:情形情形1.與平行 z 軸的直線只交于 一點(diǎn),設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè) 取上側(cè)(如圖).則有簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則(利用格林公式)定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 情形情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點(diǎn)多于一個,則可通過作輔助線把 分成與z 軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意注意:如果 是 xOy 面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.利用斯托克斯公式計算積分其中 為平面 x+y+z=1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整解解:記三角形域為,取上側(cè),則個邊界,方向如圖所示.利用對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.為柱面與平面 y=z 的交線,從 z 軸正向看為順時針,解解:設(shè) 為平面 z=y 上被 所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式其他形式 計算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理2.設(shè) G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù) u,使(4)在G內(nèi)處處有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù) u,使證證:由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;(自證)設(shè)函數(shù) 則定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù) u,使(4)在G內(nèi)處處有同理可證 故有若(3)成立,則必有因P,Q,R 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有同理 證畢定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與路徑無關(guān),解解:令 積分與路徑無關(guān),因此例例3.驗證曲線積分定理2 并求函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*三、三、環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令,引進(jìn)一個向量記作向量 rot A 稱為向量場 A 的稱為向量場 A 定義定義:沿有向閉曲線 的環(huán)流量環(huán)流量.或 于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動,M 為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn) M 的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義旋度的力學(xué)意義:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量場 A 產(chǎn)生的旋度場 穿過 的通量 注意 與 的方向形成右手系!向量場 A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意義的物理意義:例例4.求電場強(qiáng)度 的旋度.解解:(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個電場無旋.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的外法向量,計算解解:例例5.設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式斯托克斯公式也可寫成:其中A 的旋度A在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 內(nèi)與路徑無關(guān)在 內(nèi)處處有在 內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè) P,Q,R 在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.場論中的三個度場論中的三個度設(shè) 梯度梯度:散度散度:旋度旋度:則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)則提示提示:三式相加即得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P243 *2(1),(4);*3(1),(3);*4(1);*5(2);*7補(bǔ)充題:證明 習(xí)題課
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