《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應(yīng)用 第十章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 用微元分析法(元素法)建立積分式 分布在有界閉域上的整體量 3.解題要點(diǎn):畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2.用重積分解決問(wèn)題的方法:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V.例例1.求曲面分析分析:第一步:求切平面 方程;第二步:求 與S2的交線 在xOy面上的投影,寫(xiě)出所圍區(qū)域 D;第三步:求體積V.(示意圖)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積 V.解解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在 xOy 面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例例1 1.求曲面目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面的面積二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無(wú)限積累而成.設(shè)它在 D 上的投影為 d,(稱(chēng)為面積元素)則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解解:曲面在 xOy 面上投影為則出的面積 A.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.解解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法方法2 利用直角坐標(biāo)方程.(略)方法方法1 利用球坐標(biāo)方程.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理可得則得形心坐標(biāo)：目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若物體為占有xOy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.解解:利用對(duì)稱(chēng)性可知而之間均勻薄片目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解解:利用對(duì)稱(chēng)性可知質(zhì)心在 z 軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元 因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似可得:對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:取球心為原點(diǎn),z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例例8.8.求密度為 的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的設(shè)球所占 域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:取球心為原點(diǎn),z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例例8.8.求密度為 的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的設(shè)球所占 域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,G 為引力常數(shù)五、物體的引力五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若求 xOy 面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為 則上式改為D上的二重積分,密度函數(shù)改為 即可.例如,其中:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.設(shè)面密度為,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解解:由對(duì)稱(chēng)性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10.求半徑為R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解:利用對(duì)稱(chēng)性知引力分量點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為球的質(zhì)量目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P153 7，10,17 P173 1，3，6,11,13,14習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(t 為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9),問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)?(2001考研)備用題備用題目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 側(cè)面方程:提示提示:記雪堆體積為 V,側(cè)面積為 S,則(用極坐標(biāo))目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由題意知令得 因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需的時(shí)間為 100小時(shí).
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