《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,方程C 0 時(shí),不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論本節(jié)討論:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解解:令連續(xù);由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x=0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)令 x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.設(shè)解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì) x 求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 利用公式設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)方程兩邊求微分:解法解法2 微分法.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)解的公式 故得系數(shù)行列式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同樣可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí)練習(xí):求答案答案:由題設(shè)故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解解:1)令對(duì) x,y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 式兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得則有由定理 3 可知結(jié)論 1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從方程組解得同理,式兩邊對(duì) y 求導(dǎo),可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5的應(yīng)用的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).作業(yè)作業(yè) P87 3,6，7,*9,10(1);(3)，11第六節(jié) 由d y,d z 的系數(shù)即可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.設(shè)解解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得(2001考研)解得因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo),得(1999考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得
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