《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習題課1.定積分的應用定積分的應用幾何方面幾何方面:面積、體積、弧長、表面積.物理方面物理方面:質(zhì)量、作功、側(cè)壓力、引力、2.基本方法基本方法:元素法元素形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼 等.轉(zhuǎn)動慣量.定積分的應用 第六六章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解:設拋物線上切點為則該點處的切線方程為它與 x,y 軸的交點分別為所指面積使它目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故為最小值點,因而所求切線為得 0,1 上的唯一駐點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.設非負函數(shù)曲線與直線及坐標軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)a 為何值時,所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解:(1)由方程得面積為 2,體積最小?即故得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小值點,因此時 V 取最小值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.過坐標原點作曲線軸圍成平面圖形D.(1)求 D 的面積;(2)求D 繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解解:(1)設切點的橫坐標為則所求切線方程為由切線過原點知的切線.該切線與曲線因此故切線方程為D 的面積為1(2003考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)求D 繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(2)切線、x 軸及直線所圍三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為曲線、x 軸及直線所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為1得旋轉(zhuǎn)體體積為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.證明曲邊扇形繞極軸證證:先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積元素故旋轉(zhuǎn)而成的體積為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為例例5.求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解解:曲線與直線的交點坐標為曲線上任一點到直線的距離為則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.半徑為 R,密度為的球沉入深為H(H 2 R)的水池底,水的密度多少功?解解:建立坐標系如圖.則對應上球的薄片提到水面上的功元素為提出水面后的功元素為現(xiàn)將其從水池中取出,需做體積元素所受重力上升高度目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此功元素為球從水中提出所做的功為“偶倍奇零偶倍奇零”目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.設有半徑為 R 的半球形容器如圖.(1)以每秒為a 的速度向空容器中注水,(0 h R)時水面上升的速度.(2)設容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應為多少?解解:過球心的縱截面建立坐標系如圖.則半圓方程為設經(jīng)過 t 秒容器內(nèi)水深為h,求水深為 h 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)求由題設,經(jīng)過 t 秒后容器內(nèi)的水量為而高為 h 的球缺的體積為半球可看作半圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:故有兩邊對 t 求導,得a t,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)將滿池水全部抽出所做的最少功 為將全部水提對應于體積元素:元素的重力:薄層所需的功元素故所求功為到池沿高度所需的功.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P293 2;3;6;7;9
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