《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、周期為一、周期為2 l 的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期為 2l 的函數(shù) f(x)周期為 2 的函數(shù) F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開 f(x)的傅氏展開式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)條件條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里里葉級數(shù)展開式為(在 f(x)的連續(xù)點處)其中定理定理.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里里葉級數(shù):(在 F(z)的連續(xù)點處)變成是以2 為周期的周期函數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中令(在 f(x)的 連續(xù)點處)證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:其中(在 f(x)的連續(xù)點處)如果 f(x)為偶函數(shù),則有(在 f(x)的連續(xù)點處)其中注注:無論哪種情況,在 f(x)的間斷點 x 處,傅里里葉級數(shù)都收斂于如果 f(x)為奇函數(shù),則有 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解:這個半波整流函數(shù),它在傅里里葉級數(shù).上的表達(dá)式為的周期是目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 1 時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于半波整流函數(shù) f(t)直流部分說明說明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為 k 越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近 f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解解:(1)將 f(x)作奇周期延拓,則有在 x=2 k 處級數(shù)收斂于何值?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)將 作偶周期延拓,則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù) 其展開方法為:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將 代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.將函數(shù)展成傅里里葉級數(shù).解解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為 10 的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用歐拉公式歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè) f(x)是周期為 2 l 的周期函數(shù),則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意到同理目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 式的傅里里葉級數(shù).例例4.把寬為 ,高為 h,周期為 T 的矩形波展成復(fù)數(shù)形解解:在一個周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為正弦 級數(shù).內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x 間斷點)其中當(dāng)f(x)為奇 函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答答:易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算?答答:用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子 nk作業(yè)作業(yè):P319 1(1),(3);2(2);*3 從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨計算.習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(1991 考研)解解:為偶函數(shù),因 f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得故
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類型：共享資源
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上傳時間：2022-03-30
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