《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分反常積分(廣義積分)反常積分 第五五章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分引例引例.曲線和直線及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積 可記作其含義可理解為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1.設(shè)若存在,則稱此極限為 f(x)的無(wú)窮限反常積分反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則定義(c 為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分第一類反常積分.并非不定型,說(shuō)明說(shuō)明:上述定義中若出現(xiàn) 它表明該反常積分發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引入記號(hào)則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算反常積分解解:思考思考:分析分析:原積分發(fā)散!注意注意:對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.證明第一類 p 積分證證:當(dāng) p=1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)收斂;p1 時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng) p 1 時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng) p1 時(shí),反常積分發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.計(jì)算反常積分解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線所圍成的與 x 軸,y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義2.設(shè)而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù) f(x)在 a,b 上的反常積分,則定義則稱此極限為函 記作目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說(shuō)明說(shuō)明:而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)).例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:若瑕點(diǎn)計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn),則若 a 為瑕點(diǎn),則若 a,b 都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎可相消嗎?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 下述解法是否正確:,積分收斂例例4.計(jì)算反常積分解解:顯然瑕點(diǎn)為 a,所以原式例例5.討論反常積分的收斂性.解解:所以反常積分發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.證明反常積分證證:當(dāng) q=1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂;q1 時(shí)發(fā)散.當(dāng) q1 時(shí)所以當(dāng) q 1 時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng) q 1 時(shí),該廣義積分發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.解解：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故 I 為反常積分.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限 2.兩個(gè)重要的反常積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:(1)有時(shí)通過(guò)換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3)有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.P260 題 1(1),(2),(7),(8)常積分收斂.注意注意:主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習(xí)思考與練習(xí)其定義為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P260 1(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五節(jié) 提示提示:P260 題2求其最大值.作業(yè)作業(yè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 試證,并求其值.解解:令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束
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