《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三節(jié)一、一、變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二、二、液體的側(cè)壓力液體的側(cè)壓力三、三、引力問題引力問題四、四、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量(補充補充)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x)作用下沿 x 軸從 x a 移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間 上所作的功為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.一個單求電場力所作的功.解解:當(dāng)單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明說明:位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處(a b),在一個帶+q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.體,求移動過程中氣體壓力所解解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳馬略特定律知壓強 p 與體積 V 成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為故所求功為(KJ)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m,底圓半徑為3m,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強:當(dāng)平板與水面平行時,當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小窄條上各點的壓強例例4.的液體,求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解解:建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)奇函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、引力問題引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距 r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.設(shè)有一長度為 l,線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,該棒對質(zhì)點的引力.解解:建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故鉛直分力元素為在試計算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用對稱性利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的鉛直分力為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:2)若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處1)當(dāng)細(xì)棒很長時,可視 l 為無窮大,此時引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到 b(a b)處時克服引力作的功,則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引力大小為注意正負(fù)號3)當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量(補充補充)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點系若考慮物體物體的轉(zhuǎn)動慣量,則需用積分解決.關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解解:建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應(yīng)于的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)有一個半徑為 R,質(zhì)量為 M 的均勻圓盤,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平行 y 軸的細(xì)條關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為細(xì)條質(zhì)量:故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸,建立坐標(biāo)系如圖.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般元素的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2)然后用定積分來表示整體量 Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動慣量等.條條、段段、環(huán)環(huán)、帶帶、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1999考研)思考與練習(xí)思考與練習(xí)提示提示:作 x 軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分為三部分:米重50N,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度為3ms,污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至 x 處所需時間:克服抓斗自重:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示:如圖.在點O 處有一單 位質(zhì)點,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的習(xí)題課 引力大小為作業(yè)作業(yè):P291 2,3,5,9,12目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 銳角 取多大時,薄板所受的壓力 P 最大.備用題備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于解解:選取坐標(biāo)系如圖.設(shè)斜邊長為 l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問斜邊與水面交成的目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故得唯一駐點 故此唯一駐點即為所求.由實際意義可知最大值存在,即
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