《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性*第六節(jié)第六節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的性質(zhì)類似于多項式,但一般函數(shù)項級數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn).例如例如,級數(shù)每項在 0,1 上都連續(xù),其前 n 項之和為和函數(shù)該和函數(shù)在 x1 間斷.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因為對任意 x 都有:所以它的收斂域為(,),但逐項求導(dǎo)后的級數(shù) 其一般項不趨于0,所以對任意 x 都發(fā)散.又又如如,函數(shù)項級數(shù)問題問題:對什么樣的函數(shù)項級數(shù)才有:逐項連續(xù) 和函數(shù)連續(xù);逐項求導(dǎo)=和函數(shù)求導(dǎo);逐項積分=和函數(shù)積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.設(shè) S(x)為 若對 都有一個只依賴于 的自然數(shù) N,使 當(dāng)n N 時,對區(qū)間 I 上的一切 x 都有則稱該級數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x).在區(qū)間 I 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然,在區(qū)間 I 上 一致收斂于和函數(shù)S(x)部分和序列一致收斂于S(x)余項 一致收斂于 0 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 幾何解釋幾何解釋:(如圖)當(dāng)n N 時,曲線 總位于曲線之間.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.研究級數(shù) 在區(qū)間 0,+)上的收斂性.解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 余項的絕對值:因此,任給 0,取自然數(shù) 則當(dāng)n N 時有這說明級數(shù)在 0,+)上一致收斂于 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.證明級數(shù) 在 0,1 上不一致收斂.證證:取正數(shù) 對無論多么大的正數(shù) N,因此級數(shù)在 0,1 上不一致收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:對任意正數(shù) r 0,欲使只要因此取只要即級數(shù)在 0,r 上一致收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法判別法 用一致收斂定義判別級數(shù)的一致收斂性時,需求出 這往往比較困難.下面介紹一個較方便的判別法.若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間 I 上滿足:則函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間 I 上一致收斂.簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:由條件2),根據(jù)柯西審斂原理,當(dāng) n N 時,對任意正整數(shù) p,都有 由條件1),對 x I,有故函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間 I 上一致收斂.證畢目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論.若冪級數(shù)的收斂半徑 R 0,則此級 數(shù)在(R,R)內(nèi)任一閉區(qū)間 a,b 上一致收斂.證證:則對 a,b 上的一切 x,都有 由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1)級數(shù) 絕對收斂,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.說明說明:若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂,則一致收斂 區(qū)間可包含此端點(diǎn).證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.證明級數(shù)在(,)上 一致收斂.證證:而級數(shù)收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù)在(,)上 一致收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收 斂性,而且能判別其絕對收斂性.當(dāng)不易觀察到不等式可利用導(dǎo)數(shù)求例如例如,級數(shù)用求導(dǎo)法可得已知收斂,因此原級數(shù)在 0,)上一致收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì)定理定理1.若級數(shù) 證證:只需證明由于目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因為級數(shù)一致收斂于S(x),使當(dāng) n N 時,有對這樣選定的 n,從而必存在 0,從而得證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(1)定理1 表明,對一致收斂的級數(shù),極限運(yùn)算與無限 求和運(yùn)算可交換,即有(2)若函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時,定理結(jié)論不一定成立.例如例如,級數(shù) 在區(qū)間 0,1 上處處收斂,而其和函數(shù)在 x=1 處不連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.若級數(shù) 則該級數(shù)在 a,b 上可逐項積分,且上式右端級數(shù)在 a,b 上也一致收斂.證證:因為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以只需證明對任意 一致有 根據(jù)級數(shù)的一致收斂性,使當(dāng) n N 時,有于是,當(dāng) n N 時,對一切 有因此定理結(jié)論正確.證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:若級數(shù)不一致收斂時,定理結(jié)論不一定成立.例如例如,級數(shù) 它的部分和 因此級數(shù)在 0,1 上收斂于 S(x)=0,所以但是 對級數(shù)定理結(jié)論不成立的原因:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 級數(shù)的余項 可見級數(shù)在 0,1 上不一致收斂,此即定理2 結(jié)論 對級數(shù)不成立的原因.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.若級數(shù) 且可逐項求導(dǎo),即 證證:先證可逐項求導(dǎo).根據(jù) 定理2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上式兩邊對 x 求導(dǎo),得 再證根據(jù)而定理2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以級數(shù)一致收斂并不保證可以逐項求導(dǎo).例如,例3中的級數(shù)說明說明:在任意區(qū)間上都一致收斂,但求導(dǎo)后的級數(shù) 其一般項不趨于 0,所以對任意 x 都發(fā)散.證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.證明函數(shù) 對任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解解:顯然所給級數(shù)對任意 x 都收斂,且每項都有連續(xù)導(dǎo)數(shù),而逐項求導(dǎo)后的級數(shù) 故級數(shù)在(,)上一致收斂,故由定理3可知 再由定理1可知 定理1 定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同,即證證:由維爾斯特拉斯判別法的推論及定理 1,2 可知 和函數(shù)連續(xù)、級數(shù)逐項可積；級數(shù)逐項可導(dǎo)分兩步證：內(nèi)收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則由比值審斂法知 因此存在 M 0,使得 由比較審斂法可知從而在(R,R)內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂,故原級數(shù)上滿足定理3 條件,定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從而可逐項求導(dǎo),再由a,b 的任意性,即知 再證 的收斂半徑 R=R.前面已證 定理3 逐項積分,得證畢因逐項積分所得級數(shù)的收斂半徑不會縮小,綜上所述目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù) (R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),且有 其收斂半徑都為 R.推論推論:的和函數(shù) S(x)在收斂區(qū)間 作業(yè)作業(yè)P299 1;3(2);4(2),(4),(5)第七節(jié)
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