《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù)顯函數(shù).例如例如,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法:兩邊對 x 求導(dǎo)(注意 y=y(x)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求由方程在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)解解:方程兩邊對 x 求導(dǎo)得因 x=0 時 y=0,故確定的隱函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求橢圓在點處的切線方程.解解:橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)故切線方程為即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求的導(dǎo)數(shù).解解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對 x 求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)說明說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:求導(dǎo)法求導(dǎo):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如,對 x 求導(dǎo)兩邊取對數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成 x 是 y 的函數(shù))關(guān)系,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得記記目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束?例例4.設(shè),且求已知解解:練習(xí)練習(xí):書P112 題8(1)解解:注意注意:對誰求導(dǎo)?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即 t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.設(shè)由方程確定函數(shù)求解解:方程組兩邊對 t 求導(dǎo),得故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為 500 m 時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解解:設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h,仰角為,則兩邊對 t 求導(dǎo)已知 h=500m 時,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題:當(dāng)氣球升至500 m 時停住,有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500 m 時,仰角的增加率是多少?提示提示:對 t 求導(dǎo)已知求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求當(dāng)容器內(nèi)水例例8.有一底半徑為 R cm,高為 h cm 的圓錐容器,今以 自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解:設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x,水的兩邊對 t 求導(dǎo)而故體積為 V,則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.求螺線在對應(yīng)于的點處的切線方程.解解:化為參數(shù)方程當(dāng)時對應(yīng)點斜率 切線方程為點擊圖中任意處動畫播放暫停目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)求提示提示:分別用對數(shù)微分法求答案答案:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.設(shè)由方程確定,解解:方程兩邊對 x 求導(dǎo),得再求導(dǎo),得當(dāng)時,故由 得再代入 得 求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P111 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解:方法方法1方法方法2等式兩邊同時對 求導(dǎo)備用題備用題1.設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求解解：方程組兩邊同時對 t 求導(dǎo),得 2.設(shè)
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