《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、無界函數(shù)反常積分的審斂法二、無界函數(shù)反常積分的審斂法*第五節(jié)反常積分無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法反常積分的審斂法 函數(shù) 第五五章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法定理定理1.若函數(shù)證證:根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知 存在,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.(比較審斂原理)且對(duì)充,則證證:不失一般性,因此 單調(diào)遞增有上界函數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:已知得下列比較審斂法.極限存在,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.(比較審斂法 1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.判別反常積分解解:的收斂性.由比較審斂法 1 可知原積分收斂.思考題思考題:討論反常積分的收斂性.提示提示:當(dāng) x1 時(shí),利用 可知原積分發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.(極限審斂法1)則有:1)當(dāng)2)當(dāng)證證:1)根據(jù)極限定義,對(duì)取定的當(dāng) x 充分大時(shí),必有,即滿足目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)當(dāng)可取必有即注意注意:此極限的大小刻畫了目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.判別反常積分的收斂性.解解:根據(jù)極限審斂法 1,該積分收斂.例例3.判別反常積分的收斂性.解解:根據(jù)極限審斂法 1,該積分發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理5.證：證：則而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.設(shè)反常積分則稱絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂;則稱條件收斂條件收斂.例例4.判斷反常積分的收斂性.解解:根據(jù)比較審斂原理知故由定理5知所給積分收斂(絕對(duì)收斂).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無界函數(shù)的反常積分可轉(zhuǎn)化為無窮限的反常積分.二、無界函數(shù)反常積分的審斂法二、無界函數(shù)反常積分的審斂法由定義 例如因此無窮限反常積分的審斂法完全可平移到無界函數(shù)的反常積分中來.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6.(比較審斂法 2)定理3 瑕點(diǎn),有有利用有類似定理 3 與定理 4 的如下審斂法.使對(duì)一切充分接近 a 的 x(x a).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7.(極限審斂法2)定理4 則有:1)當(dāng)2)當(dāng)例例5.判別反常積分解解:利用洛必達(dá)法則得根據(jù)極限審斂法2,所給積分發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.判定橢圓積分定理4 斂性.解解:由于 的收根據(jù)極限審斂法 2,橢圓積分收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似定理5,有下列結(jié)論:例例7.判別反常積分的收斂性.解解:稱為絕對(duì)收斂.故對(duì)充分小從而 據(jù)比較審斂法2,所給積分絕對(duì)收斂.則反常積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、函數(shù)函數(shù)1.定義定義下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 綜上所述,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.性質(zhì)性質(zhì)(1)遞推公式證證:(分部積分)注意到:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)證證:(3)余元公式:(證明略)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(4)得應(yīng)用中常見的積分這表明左端的積分可用 函數(shù)來計(jì)算.例如,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.兩類反常積分的比較審斂法比較審斂法和極限審斂法極限審斂法.2.若在同一積分式中出現(xiàn)兩類反常積分,習(xí)題課 可通過分項(xiàng)使每一項(xiàng)只含一種類型的反常積分,只有各項(xiàng)都收斂時(shí),才可保證給定的積分收斂.3.函數(shù)的定義及性質(zhì).思考與練習(xí)思考與練習(xí)P268 1(1),(2),(6),(7);5(1),(2)作業(yè)作業(yè)P268 1(3),(4),(5),(8);2;3
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