《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件,高等數(shù)學,《高等數(shù)學》(第六版)上下冊,PPT教學課件,第六,上下冊,PPT,教學,課件
無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)第十二章目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 第一節(jié) 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和逼近于圓的面積 A.設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積,ak 表示邊數(shù)增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例2.(神秘的康托爾塵集)把0,1區(qū)間三等分,舍棄中間的開區(qū)間將剩下的兩個子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間的開區(qū)間,如此反復(fù)進行這種“棄中”操作,問丟棄部分的總長和剩下部分的總長各是多少？丟棄的各開區(qū)間長依次為故丟棄部分總長剩余部分總長 剩余部分總長雖然為0,但康托爾證明了其成員和實數(shù)“一樣多”,它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上,人們稱其為康托爾塵集.01(此式計算用到后面的例1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例3.小球從 1 m 高處自由落下,每次跳起的高度減問小球是否會在某時刻停止運動?說明道理.由自由落體運動方程知則小球運動的時間為(s)設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時間,(此式計算用到 后面的例1)少一半,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第 n 項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂收斂,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和和,記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散.顯然目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q 稱為公比)的斂散性.解解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧技巧:利用“拆項相消拆項相消”求和目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為 1.技巧技巧:利用“拆項相消拆項相消”求和目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.判別級數(shù)的斂散性.解解:故原級數(shù)收斂,其和為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于 S,則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)也收斂,證證:令則這說明收斂,其和為 c S.說明說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為 c S.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2.設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證證:令則這說明級數(shù)也收斂,其和為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如例如,(1)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或相減.(用反證法可證)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證證:將級數(shù)的前 k 項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當級數(shù)收斂時,其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列 為原級數(shù)部分和序列 的一個子序列,推論推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意:收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)則必有證證:可見:若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散.例如例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上事實上,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.判斷級數(shù)的斂散性:解解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解解:(1)令則故從而這說明級數(shù)(1)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因進行拆項相消進行拆項相消這說明原級數(shù)收斂,其和為(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這說明原級數(shù)收斂,其和為 3.(3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的充要條件是:*四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 定理定理.有證證:設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為因為所以利用數(shù)列 的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)),即得本定理的結(jié)論.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.解解:有利用柯西審斂原理判別級數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當 nN 時,都有由柯西審斂原理可知,級數(shù) 作業(yè)作業(yè) P253 1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5);*5(3),(4)第二節(jié)
收藏