《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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無(wú)窮級(jí)數(shù) 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)第十二章目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 第一節(jié) 第十二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積 A.設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積,ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例引例2.(神秘的康托爾塵集)把0,1區(qū)間三等分,舍棄中間的開(kāi)區(qū)間將剩下的兩個(gè)子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間的開(kāi)區(qū)間,如此反復(fù)進(jìn)行這種“棄中”操作,問(wèn)丟棄部分的總長(zhǎng)和剩下部分的總長(zhǎng)各是多少？丟棄的各開(kāi)區(qū)間長(zhǎng)依次為故丟棄部分總長(zhǎng)剩余部分總長(zhǎng) 剩余部分總長(zhǎng)雖然為0,但康托爾證明了其成員和實(shí)數(shù)“一樣多”,它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上,人們稱其為康托爾塵集.01(此式計(jì)算用到后面的例1)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例引例3.小球從 1 m 高處自由落下,每次跳起的高度減問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)?說(shuō)明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程知?jiǎng)t小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(s)設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間,(此式計(jì)算用到 后面的例1)少一半,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為收斂收斂,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和和,記作目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散.顯然目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q 稱為公比)的斂散性.解解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧技巧:利用“拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消”求和目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為 1.技巧技巧:利用“拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消”求和目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于 S,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂,證證:令則這說(shuō)明收斂,其和為 c S.說(shuō)明說(shuō)明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為 c S.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證證:令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如例如,(1)性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減.(用反證法可證)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證:將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子序列,推論推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證證:可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解解:(1)令則故從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為 3.(3)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的充要條件是:*四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 定理定理.有證證:設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為因?yàn)樗岳脭?shù)列 的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)),即得本定理的結(jié)論.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.解解:有利用柯西審斂原理判別級(jí)數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) nN 時(shí),都有由柯西審斂原理可知,級(jí)數(shù) 作業(yè)作業(yè) P253 1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5);*5(3),(4)第二節(jié)
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