《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習題課一、一、曲線積分的計算法曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法 線面積分的計算 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、曲線積分的計算法一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終練習題:P244 題 3(1),(3),(6)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示:計算其中L為圓周提示提示:利用極坐標,原式=說明說明:若用參數(shù)方程計算,則P244 3(1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P244 3(3).計算其中L為擺線上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P244 3(6).計算其中 由平面 y=z 截球面提示提示:因在 上有故原式=從 z 軸正向看沿逆時針方向.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧基本技巧目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.計算其中 為曲線解解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.計算其中L 是沿逆時針方向以原點為中心、解法解法1 令則這說明積分與路徑無關,故a 為半徑的上半圓周.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考思考:(2)若 L 同例2,如何計算下述積分:(1)若L 改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題解答思考題解答:(1)(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:把例例3.設在上半平面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),且對任意 t 0 都有證明對D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L,都有兩邊對t求導,得:則有因此結(jié)論成立.(2006考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算其中L為上半圓周提示提示:沿逆時針方向.練習題練習題:P244 題 3(5);P245 題 6;11.3(5).用格林公式:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P245 6.設在右半平面 x 0 內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關.提示提示:令易證F 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L 所作的功為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P245 11.求力沿有向閉曲線 所作的其中 為平面 x+y+z=1 被三個坐標面所截成三提示提示:方法方法1從 z 軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,功,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設三角形區(qū)域為,方向向上,則方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設L 是平面與柱面的交線從 z 軸正向看去,L 為逆時針方向,計算 解解:記 為平面上 L 所圍部分的上側(cè),D為 在 xOy 面上的投影.由斯托克斯公式公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D 的形心目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉(zhuǎn)化二重積分(1)選擇積分變量 代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負第二類:有向投影(3)確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思思 考考 題題1)二重積分是哪一類積分?答答:第一類曲面積分的特例.2)設曲面問下列等式是否成立?不對不對!對坐標的積分與 的側(cè)有關 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.基本技巧基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習練習:P244 題題4(3)其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè),原式=P244 題題4(2),P245 題題 10 同樣可利用高斯公式計算.記半球域為 ,高斯公式有計算提示提示:以半球底面為輔助面,利用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.證明證明:設(常向量)則單位外法向向量,試證設 為簡單閉曲面,a 為任意固定向量,n為 的 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.計算曲面積分其中,解解:思考思考:本題 改為橢球面時,應如何計算?提示提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.設 是曲面解解:取足夠小的正數(shù) ,作曲面取下側(cè)使其包在 內(nèi),為 xOy 平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二項添加輔助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.計算曲面積分中 是球面解解:利用對稱性用重心公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P244 3(2),(4);4(2)5 ;9目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.已知平面區(qū)域L為D 的邊界,試證證證:(1)根據(jù)格林公式所以相等,從而左端相等,即(1)成立.(2003 考研)因、兩式右端積分具有輪換對稱性,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)由式由輪換對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是 2.地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為 H=0.25 R,衛(wèi)星繞地球一周的時間為 T,試求(2)在解解:如圖建立坐標系.的時間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?設衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(zhuǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)利用球坐標,任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停注意盲區(qū)與重復部分其中S0 為盲區(qū)面積目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)利用球坐標,任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在其中盲區(qū)面積時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為
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