《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、一、微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拉格朗日中值定理 一、一、微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 泰勒中值定理 柯西中值定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.微分中值定理的主要應(yīng)用微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.有關(guān)中值問題的解題方法有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).一般解題方法:(1)證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結(jié)論中涉及含中值的兩個不同函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理羅爾定理,可考慮用柯柯西中值定理西中值定理.必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用中值定理中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公泰勒公式式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)適當(dāng)放大放大或縮小縮小的技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理對導(dǎo)數(shù)用中值定理.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證證:取點再取異于的點對為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點使上連續(xù),在證證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在 0,1 上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.且試證存在證證:欲證因 f(x)在 a,b 上滿足拉氏中值定理條件,故有將代入,化簡得故有即要證目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)實數(shù)滿足下述等式證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.證證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點使即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.設(shè)函數(shù) f(x)在 0,3 上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且 分析:所給條件可寫為(2003考研)試證必存在 想到找一點 c,使證證:因 f(x)在0,3上連續(xù),所以在 0,2 上連續(xù),且在 0,2 上有最大值 M 與最小值 m,故由介值定理,至少存在一點 由羅爾定理知,必存在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證證:由泰勒公式得兩式相減得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題3.其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實根等.4.補(bǔ)充定理(見下頁)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù)在上具有n 階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)時證證:令則利用在處的 n 1 階泰勒公式得因此時定理定理.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例7.填空題填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .提示提示:的正負(fù)作 f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .在區(qū)間 上是凸弧;拐點為 提示提示:的正負(fù)作 f(x)的示意圖.形在區(qū)間 上是凹弧;則函數(shù) f(x)的圖(2)設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.證明在上單調(diào)增加.證證:令在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,故當(dāng) x 0 時,從而在上單調(diào)增.得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.設(shè)在上可導(dǎo),且證明 f(x)至多只有一個零點.證證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點.又因因此也至多只有一個零點.思考思考:若題中改為其他不變時,如何設(shè)輔助函數(shù)?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10.求數(shù)列的最大項.證證:設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得因為在只有唯一的極大值點因此在 處也取最大值.又因中的最大項.極大值列表判別:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11.證明證證:設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思考思考:證明時,如何設(shè)輔助函數(shù)更好?提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12.設(shè)在上存在,且單調(diào)遞減,有證證:設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.證明對一切目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13.證證:只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14.證明當(dāng) x 0 時,證證:令則法法1.由在處的二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與 1 之間)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法法2.列表判別.即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例15.求解法解法1 利用中值定理求極限原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 利用泰勒公式令則原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法3 利用洛必達(dá)法則原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P182 5;*7;*8;10(2),(3);11(1);17;20作業(yè)作業(yè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1.設(shè)函數(shù)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足證明序列發(fā)散.證：證：故序列發(fā)散.(2007 考研）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 保號性保號性 定理定理2.設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且試證存在使證證:不妨設(shè)必有使故保號性保號性 定理定理必有使故又在上連續(xù),由零點定理知,存在使目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.已知函數(shù)內(nèi)可導(dǎo),且證證:(1)令故存在使 即(2005 考研）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)可導(dǎo),且(2)根據(jù)拉格朗日中值定理,存在使3.已知函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 階導(dǎo)數(shù),且存在相等的最大值,并滿足4.設(shè)函數(shù)證證:據(jù)泰勒定理,存在使 由此得即有(2007 考研）情形情形1.則有內(nèi)具有二目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 階導(dǎo)數(shù),且存在相等的最大值,并滿足情形情形2.因此據(jù)零點定理,存在即有則有4.設(shè)函數(shù)應(yīng)用羅爾定理得內(nèi)具有二
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