《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū) 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.1.引例引例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長的曲線積分,記作若通過對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果 L 是 xOy 面上的曲線弧,如果 L 是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長的曲線積分為思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長曲線積分的特例?否!對(duì)弧長的曲線積分要求 ds 0,但定積分中dx 可能為負(fù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.性質(zhì)性質(zhì)（,為常數(shù))(由 組成)(l 為曲線弧 的長度)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:且上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:因此積分限必須滿足(2)注意到 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算其中 L 是拋物線與點(diǎn) B(1,1)之間的一段弧.解解:上點(diǎn) O(0,0)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.計(jì)算半徑為 R,中心角為的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I (設(shè)線密度=1).解解:建立坐標(biāo)系如圖,則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.計(jì)算其中L為雙紐線解解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.計(jì)算曲線積分 其中 為螺旋的一段弧.解解:線目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.計(jì)算其中 為球面 被平面 所截的圓周.解解:由對(duì)稱性可知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:例5中 改為計(jì)算解解:令,則圓 的形心在原點(diǎn),故,如何利用形心公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.計(jì)算其中 為球面解解:化為參數(shù)方程 則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.有一半圓弧其線密度 解解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.定義定義2.性質(zhì)性質(zhì)(l 曲線弧 的長度)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧 對(duì)光滑曲線弧目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.已知橢圓周長為a,求提示提示:原式=利用對(duì)稱性分析分析:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解解:設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故重心坐標(biāo)為作業(yè)作業(yè)P188 3(3),(4),(6),(7)5 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1.設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示提示:分段積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.L為球面標(biāo)面的交線,求其形心坐標(biāo).在第一卦限與三個(gè)坐解解:如圖所示,交線長度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為
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