《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結束*三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義定義設向量的夾角為,稱 記作數(shù)量積(點積).引例引例.設一物體在常力 F 作用下,位移為 s,則力F 所做的功為目錄 上頁 下頁 返回 結束 記作故2.性質性質為兩個非零向量,則有 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.運算律運算律(1)交換律(2)結合律(3)分配律事實上,當時,顯然成立;目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.證明三角形余弦定理證證:如圖.則設目錄 上頁 下頁 返回 結束 4.數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.已知三點 AMB.解解:則求故目錄 上頁 下頁 返回 結束 為 ).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質量P(流體密度例例3.設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域,與該平面域的單位垂直向量解解:單位時間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例.設O 為杠桿L 的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量 M:的力 F 作用在杠桿的 P點上,則力 F 作用在杠桿上的力目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.定義定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考思考:右圖三角形面積S目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.性質性質為非零向量,則3.運算律運算律(2)分配律(3)結合律(證明略)證明證明:目錄 上頁 下頁 返回 結束 4.向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設則目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法(行列式計算見上冊 P355P358)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.已知三點角形 ABC 的面積.解解:如圖所示,求三目錄 上頁 下頁 返回 結束 一點 M 的線速度例例5.設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉,導出剛體上 的表示式.解解:在軸 l 上引進一個角速度向量使其在 l 上任取一點 O,作它與則點 M離開轉軸的距離且符合右手法則的夾角為,方向與旋轉方向符合右手法則,向徑目錄 上頁 下頁 返回 結束*三、向量的混合積向量的混合積1.定義定義 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積.記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.混合積的坐標表示混合積的坐標表示設目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.性質性質(1)三個非零向量共面的充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6.已知一四面體的頂點4),求該四面體體積.解解:已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7.已知 A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點共面,求點 M 的坐標 x、y、z 所滿足的方程.解解:A、B、C、M 四點共面展開行列式即得點 M 的坐標所滿足的方程AM、AB、AC 三向量共面即目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結設1.向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:目錄 上頁 下頁 返回 結束 混合積:2.向量關系:目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1.設計算并求夾角 的正弦與余弦.答案答案:2.用向量方法證明正弦定理:目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:由三角形面積公式所以因目錄 上頁 下頁 返回 結束 P22 3,4,6,7,9(1);(2),10,12第三節(jié) 作業(yè)作業(yè)目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1.已知向量的夾角且解：解：目錄 上頁 下頁 返回 結束 在頂點為三角形中,求 AC 邊上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面積為 2.而故有
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