《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件

《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件,高等數(shù)學,《高等數(shù)學》(第六版)上下冊,PPT教學課件,第六,上下冊,PPT,教學,課件 主講教材主講教材:主要參考書主要參考書:高等數(shù)學附冊高等數(shù)學附冊 學習輔導與習題選解學習輔導與習題選解高等數(shù)學高等數(shù)學(第六版第六版)同濟大學數(shù)學系同濟大學數(shù)學系 編編高等教育出版社高等教育出版社,2007.4.同濟大學數(shù)學系同濟大學數(shù)學系 編編高等數(shù)學習題全解指南高等數(shù)學習題全解指南（上、下）（上、下）高等教育出版社高等教育出版社,2007.4.主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二版前言第二版前言 高等數(shù)學電子教案（第二版）是在原電子教案基礎上，以同濟大學高等數(shù)學第六版為藍本修改而成。第二版電子教案保留了原電子教案的優(yōu)點：內(nèi)容完整、制作精致、圖文并茂、動靜結(jié)合、使用方便、易于修改，為使傳統(tǒng)教學方法與現(xiàn)代教育技術(shù)的優(yōu)勢融為一體創(chuàng)造了很好的條件。同時又根據(jù)同濟大學第六版教材在體系上做了調(diào)整，并補充了近幾年研究生入學考試中的一些新題型及其他典型題目，此外還對電子教案的動畫過程做了全面檢查與適當調(diào)整，使它更合理、更便于教師課堂操作和使用。軟軟 件件 特特 點點電電 子子 教教 案案附附 錄錄 附附 錄錄 使使 用用 說說 明明高等數(shù)學電子教案結(jié)束結(jié)束第二版主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 軟軟 件件 特特 點點我們利用多媒體技術(shù)把抽象的數(shù)學概念與原理用直觀的圖形和美麗的動畫逐步展示出來,做到圖文并茂,動靜結(jié)合，有助于學生深刻領會其內(nèi)涵與要點,許多2.課件制作精致，充分反映了教學思路課件制作精致，充分反映了教學思路，與教學進程配合與教學進程配合 緊密緊密.能做到課件演示與教師講解以及學生思考同步，便于教與 學交互性的充分發(fā)揮，使傳統(tǒng)教學的優(yōu)點得到保留與發(fā)揚.較為抽象和應用廣泛的基礎課,高等數(shù)學是一門方面是傳統(tǒng)教學很難實現(xiàn)的.教師 若采用遙控鼠標,則可隨時走下講臺與學生討論與交流，活躍課堂氣氛,效果更好.1.充分發(fā)揮了現(xiàn)代化教學手段的優(yōu)點充分發(fā)揮了現(xiàn)代化教學手段的優(yōu)點.主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 部分圖形都是用Mathematica,MathCAD 等數(shù)學軟件準確繪出,并不僅通過一題多解和一題多變增強啟發(fā)性，擴大了課堂信息量和因材施教的靈活性,與傳統(tǒng)教學相比,信息量約增加了 20%,同時也提供了更多的條件進行師生間的交流,使課堂氣氛更加活躍.而且還用 MathCAD 制作了一些 avi 使動畫效果更好,所有這些都能在PowerPoint 平臺上播放,豐富教學內(nèi)容,而且每節(jié)課都有思考練習和備用題，4數(shù)學圖形準確數(shù)學圖形準確,動畫制作精美，操作平臺簡單動畫制作精美，操作平臺簡單.文件,對某些特殊動畫,則采用圖片覆蓋法逐 步實現(xiàn).不僅絕大 不需借助其他3.課件內(nèi)容完整、新穎、信息量大、便于因材施教課件內(nèi)容完整、新穎、信息量大、便于因材施教.做到“化整為零,逐步顯示”,軟件.例如,主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 題課和備用題課件，教師講課時既可直接使用，也可以此為素材,根據(jù)自己的風格和學生的具體情況重新編輯或進行適當補充與修改.由于課件內(nèi)容完整、系統(tǒng)、詳細，且操作簡便，因此也可供學生學習參考.同濟大學 高等數(shù)學（第六版）全部內(nèi)容，6.課件中包含了數(shù)學家簡介與重要曲線兩個附錄課件中包含了數(shù)學家簡介與重要曲線兩個附錄,為教師備為教師備 課提供了方便課提供了方便.尤其是附錄,不僅有生成曲線的動畫,還列出 了參數(shù)的意義和曲線的各種特征.同時還添加了習5.課件內(nèi)容完整課件內(nèi)容完整,使用方便使用方便,便于修改便于修改.本課件不僅包含了 7.本課件是在作者已本課件是在作者已出版的出版的與同濟大學高等數(shù)學第五版配套與同濟大學高等數(shù)學第五版配套的的“高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案”的基礎上，根據(jù)第六版的內(nèi)容修改的基礎上，根據(jù)第六版的內(nèi)容修改而成而成,并補充了一些典型例題并補充了一些典型例題.本課件集中了作者本課件集中了作者4040多年教多年教學實踐經(jīng)驗和多學實踐經(jīng)驗和多年多媒體教學的體會，年多媒體教學的體會，頗受使用者的好評頗受使用者的好評.主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引言第一章 函數(shù)與極限 第二章 導數(shù)與微分 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用第四章 不定積分 第五章 定積分 第六章 定積分的應用 目目 錄錄主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)第九章 多元函數(shù)微分法及其應用第十章 重積分第十一章 曲線積分與曲面積分第十二章 無窮級數(shù)第七章 微分方程目目 錄錄(續(xù)續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 函數(shù)與極限第三節(jié) 函數(shù)的極限第一節(jié) 映射與函數(shù) 第二節(jié) 數(shù)列的極限第四節(jié) 無窮大與無窮小第五節(jié) 極限運算法則第六節(jié) 極限存在準則及兩個重要極限 主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第七節(jié) 無窮小的比較 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習題課第一章(續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié) 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導 相關變化率第二章第二章 導數(shù)與微分導數(shù)與微分 第一節(jié) 導數(shù)概念 第二節(jié) 函數(shù)的求導法則第三節(jié) 高階導數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的微分習題課主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三章第三章 微分中值定理與微分中值定理與導數(shù)的應用導數(shù)的應用 第一節(jié) 微分中值定理 第二節(jié) 洛必達法則第三節(jié) 泰勒公式第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪第七節(jié) 曲率 習題課第八節(jié) 方程的近似解第三章(續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理函數(shù)的積分第五節(jié) 積分表的使用習題課主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束*第五節(jié) 反常積分的審斂法 函數(shù) 第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法第四節(jié) 反常積分習題課主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六章第六章 定積分的應用定積分的應用 第一節(jié) 定積分的元素法第二節(jié) 定積分在幾何學上的應用第三節(jié) 定積分在物理學上的應用 習題課主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七章第七章 微分方程微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念 第二節(jié) 可分離變量的微分方程 第三節(jié) 齊次方程 第四節(jié) 一階線性微分方程 習題課(一階方程)第五節(jié) 可降階的高階微分方程 第六節(jié) 高階線性微分方程 主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束*第十節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組解法舉例第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程 第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程 習題課(高階方程)*第九節(jié) 歐拉方程 第七章(續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習題課第八章第八章 空間解析幾何與空間解析幾何與 向量代數(shù)向量代數(shù) 第一節(jié) 向量及其線性運算 第二節(jié) 數(shù)量積 向量積*混合積 第三節(jié) 曲面及其方程 第四節(jié) 空間曲線及其方程 第五節(jié) 平面及其方程 第六節(jié) 空間直線及其方程 主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 第二節(jié) 偏導數(shù) 第三節(jié) 全微分 第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則 第五節(jié) 隱函數(shù)的求導方法 第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用 主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法習題課*第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式*第十節(jié) 最小二乘法第九章(續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束*第五節(jié) 含參變量的積分 第十章第十章 重積分重積分 第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié) 二重積分的計算法 第三節(jié) 三重積分 第四節(jié) 重積分的應用 習題課 主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié) 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度 第六節(jié) 高斯公式 *通量與散度第十一章第十一章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié) 對弧長的曲線積分 第二節(jié) 對坐標的曲線積分 第三節(jié) 格林公式及其應用 第四節(jié) 對面積的曲面積分第五節(jié) 對坐標的曲面積分習題課主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束*第六節(jié) 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及 一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 第十二章第十二章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法第三節(jié) 冪級數(shù)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié) 傅里葉級數(shù) 第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 習題課 第十二章(續(xù))主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使用說明使用說明 1.對象對象.本電子教案以同濟大學高等數(shù)學第六版為藍本,章節(jié)目錄索引按原書順序排列,該課件適用于工科院校本科多媒體教學或網(wǎng)絡教室上課,也可作為學生自學的參考軟件.其中的基礎內(nèi)容也可供大專的高等數(shù)學課使用.2.內(nèi)容內(nèi)容.本軟件包含高等數(shù)學(第六版)全部內(nèi)容,例題豐富,除個別內(nèi)容太少的節(jié)外,幾乎每節(jié)都有小結(jié)及思考練習題,此外還有一部分備用題,教師可根據(jù)具體情況選用.每章都有習題課,僅供大家參考.為便于教師備課參考,本軟件作了兩個附錄,附錄為20位數(shù)學家的簡介,并以自定義動畫形式穿插在相關主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容中,運行時,只要點擊相片或有關按鈕即可顯示出來,不點擊則不顯示;附錄為常見重要曲線圖形及其特征介紹,絕大部分都以動畫形式顯示了該曲線的生成過程.3.平臺平臺.本軟件用 PowerPoint 制作而成,使用者可方便地根據(jù)自己的意圖對其進行修改與補充,或鏈入其他媒體信息.為了更好地使用本軟件,得到多媒體輔助教學的良好效果,使用者需掌握 PowerPoint 的基本操作原理和方法.4.教學進程教學進程.多媒體教學傳遞速度快,信息量大,盡管我們的課件可以做到講到哪兒顯示到哪兒,但仍比寫黑板快很多,因此使用本課件授課時,應注意熟悉播放程序,控制播放速度,使觀看者有充足的思考與記筆記 的時間.主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在各節(jié)電子教案中在各節(jié)電子教案中指向開始的目錄頁指向開始的目錄頁5.本電子教案排版標準本電子教案排版標準.(1)章 54 磅華文行楷,節(jié) 48 磅華文行楷,大標題(一、二)32 磅楷體,加粗,黃色,小標題(1.2.)28 磅楷體,加粗,一般正文文本 28 磅楷體.(2)公式:標準 28磅,上下標 1824 磅,次上下標 1517 磅,符號 4044 磅,具體取多大,以顯示清晰,幻燈片布局美觀,教學效果好為準.例如級數(shù)中的和號取20 磅,某些積分符號取44磅.(3)按鈕說明.機動按鈕，需要時添加，機動按鈕，需要時添加，并在下方加注釋并在下方加注釋(10號號)主頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.使用使用 avi 動畫的注意事項動畫的注意事項.本電子教案中的 avi 動畫是與相應的 avi 文件鏈接在一起的,如果路徑不對,則動畫不能演示,此時只要按以下步驟進行即可:(1)點擊“插入影片和聲音文件中的影片”,找到相應的 avi 文件打開它,根據(jù)提示(“是否自動播放”)選擇“是”或“否”;(2)右鍵點擊圖片,在“設置圖片格式尺寸縮放比例”中選100%;(3)將圖片移至合適的地方即可(如需要還可用繪圖工具給它加邊框).教材教材:主要參考書主要參考書:高等數(shù)學高等數(shù)學(第六版第六版)同濟大學應用數(shù)學系同濟大學應用數(shù)學系 主編主編高等教育出版社高等教育出版社,2007.4.高等數(shù)學附冊高等數(shù)學附冊 學習輔導與習題選解學習輔導與習題選解同濟大學數(shù)學系同濟大學數(shù)學系 編編高等數(shù)學習題全解指南高等數(shù)學習題全解指南（上、下）（上、下）高等教育出版社高等教育出版社,2007.4.數(shù)學數(shù)學 數(shù)學數(shù)學 而且是一種而且是一種思維模式思維模式;不僅是一種不僅是一種知識知識,而且是一種而且是一種素養(yǎng)素養(yǎng);不僅是一種不僅是一種科學科學,而且是一種而且是一種文化文化;能否運用數(shù)學觀念能否運用數(shù)學觀念定量思維定量思維是衡量是衡量 民族科學文化素質(zhì)的一個重要標志民族科學文化素質(zhì)的一個重要標志.不僅是一種不僅是一種工具工具,數(shù)學數(shù)學 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引引 言言一、什么是高等數(shù)學一、什么是高等數(shù)學?初等數(shù)學 研究對象為常量常量,以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學 研究對象為變量變量,運動運動和辯證法辯證法進入了數(shù)學.數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù),運動運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法辯證法進入了數(shù)學,有了變數(shù),微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.恩格斯恩格斯笛卡兒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.分析基礎:函數(shù),極限,連續(xù) 2.微積分學:一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容多元微積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、如何學習高等數(shù)學二、如何學習高等數(shù)學?1.認識高等數(shù)學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2.學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習聰明在于學習,天才在于積累天才在于積累.學而優(yōu)則用學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng)學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學.一門科學,只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步.第一節(jié) 華羅庚華羅庚目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié)一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理*三、一致連續(xù)性三、一致連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,無最大值和最小值 也無最大值和最小值 又如又如,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有證證:設上有界.定理定理2.(零點定理)至少有一點且使(證明略)推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.(介值定理)設 且則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C,一點證證:作輔助函數(shù)則且故由零點定理知,至少有一點使即推論推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)使至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.證明方程一個根.證證:顯然又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即說明說明:內(nèi)必有方程的根;取的中點內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在區(qū)間內(nèi)至少有則則內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*三三.一致連續(xù)一致連續(xù)性性已知函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù),即:一般情形,就引出了一致連續(xù)的概念.定義定義:對任意的都有在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù).顯然:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,但不一致連續(xù).因為取點則 可以任意小但這說明在(0,1 上不一致連續(xù).定理定理4.上一致連續(xù).(證明略)思考思考:P74 題*7提示提示:設存在,作輔助函數(shù)顯然目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)在上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當時,使必存在上有界;在在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示提示:建立坐標系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則證明至少存在使提示提示:令則易證2.設作業(yè)作業(yè)P74(習題110）2;3;5一點習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 至少有一個不超過 4 的 證證：證明令且根據(jù)零點定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二、二、無窮大無窮大 三三、無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系 一、一、無窮小無窮小 第四節(jié)無窮小與無窮大目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當一、一、無窮小無窮小定義定義1.若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù) 當時為無窮小;函數(shù) 時為無窮小;函數(shù) 當為時的無窮小無窮小.時為無窮小.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小!因為當時,顯然 C 只能是 0!CC時,函數(shù)(或 )則稱函數(shù)為定義定義1.若(或 )則 時的無窮小無窮小.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為時的無窮小量.定理定理 1.(無窮小與函數(shù)極限的關系)證證:當時,有對自變量的其他變化過程類似可證.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、無窮大無窮大定義定義2.若任給任給 M 0,一切滿足不等式的 x,總有則稱函數(shù)當時為無窮大,使對若在定義中將 式改為則記作(正數(shù)正數(shù) X),記作總存在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如例如,函數(shù)但不是無窮大!目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.證明證證:任給正數(shù) M,要使即只要取則對滿足的一切 x,有所以若 則直線為曲線的鉛直漸近線.鉛直漸近線說明說明:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理2.在自變量的同一變化過程中,說明說明:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關系Th13.無窮小與無窮大的關系Th2思考與練習思考與練習P42 題1,*3P42 題*3 提示:作業(yè)作業(yè)P42 *2(2);4(1);8第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二、二、極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則 一一、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第五節(jié)極限運算法則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時,有一、一、無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1.有限個無窮小的和還是無窮小.證證:考慮兩個無窮小的和.設當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:無限個無限個無窮小之和不一定不一定是無窮小!例如，例如，(P57 題 4(2)解答見課件第二節(jié)解答見課件第二節(jié) 例例5類似可證:有限個有限個無窮小之和仍為無窮小.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證:設又設即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論推論 1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論 2.有限個無窮小的乘積是無窮小.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求解解:利用定理 2 可知說明說明:y=0 是的漸近線.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、極限的四則運算法則極限的四則運算法則則有證證:因則有(其中為無窮小)于是由定理 1 可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關系定理,知定理結(jié)論成立.定理定理 3.若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論:若且則(P46 定理定理 5)利用保號性定理證明.說明說明:定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示提示:令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4.若則有提示提示:利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理2 證明.說明說明:定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論推論 1.(C 為常數(shù))推論推論 2.(n 為正整數(shù))例例2.設 n 次多項式試證證證:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為無窮小(詳見書詳見書P44)定理定理 5.若且 B0,則有證證:因有其中設無窮小有界由極限與無窮小關系定理,得因此 為無窮小,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6.若則有提示提示:因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理 可由定理3,4,5 直接得出結(jié)論.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x=3 時分母為 0!例例3.設有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證證:說明說明:若不能直接用商的運算法則.例例4.若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.求解解:x=1 時,分母=0,分子0,但因目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.求解解:分子分母同除以則“抓大頭抓大頭”原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù))(如如 P47 例例5)(如如 P47 例例6)(如如 P47 例例7)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則定理定理7.設且 x 滿足時,又則有證證:當時,有當時,有對上述取則當時故因此式成立.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7.設且 x 滿足時,又則有 說明說明:若定理中若定理中則類似可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.求求解解:令,仿照例4 原式=(見見P34 例例5)例4目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.求求解解:方法方法 1則令 原式方法方法 2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(要求分母不為 0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復合函數(shù)極限求法設中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考及練習思考及練習1.是否存在?為什么?答答:不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解解:原式2.問目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.求解法解法 1 原式=解法解法 2 令則原式=目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.試確定常數(shù) a 使解解:令則故因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P49 1(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 設解解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系 及夾逼準則及夾逼準則第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系及夾逼準則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系定理定理1.有定義,為確定起見,僅討論的情形.有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.有定義,且設即當有有定義,且對上述 ,時,有于是當時故可用反證法證明.(略)有證：證：當“”“”目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.有定義且有說明說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法法1 找一個數(shù)列不存在.法法2 找兩個趨于的不同數(shù)列及使目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.證明不存在.證證:取兩個趨于 0 的數(shù)列及有由定理 1 知不存在.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.函數(shù)極限存在的夾逼準則函數(shù)極限存在的夾逼準則定理定理2.且(利用定理1及數(shù)列的夾逼準則可證)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 圓扇形AOB的面積二、二、兩個重要極限兩個重要極限 證證:當即亦即時，顯然有AOB 的面積AOD的面積故有注注注 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求解解:例例3.求解解:令則因此原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求解解:原式=例例5.已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明:證證:說明說明:計算中注意利用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.證證:當時,設則(P5354)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當則從而有故說明說明:此極限也可寫為時,令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.求解解:令則說明說明：若利用則 原式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.求解解:原式=目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關系的應用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準則法法1 找一個數(shù)列且使法法2 找兩個趨于及使不存在.函數(shù)極限存在的夾逼準則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.兩個重要極限或注注:代表相同的表達式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習填空題填空題 (14)作業(yè)作業(yè) P56 1 (4)，(5)，(6);2 (2)，(3)，(4);4 (4),(5)第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 都是無窮小,第七節(jié)引例引例.但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的.無窮小的比較目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若則稱 是比 高階高階的無窮小,若若若若或設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價等價無窮小,記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,當時又如又如，故時是關于 x 的二階無窮小,且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.證明:當時,證證:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.證明:證證:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此 即有等價關系:說明說明:上述證明過程也給出了等價關系:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1.證證:即即例如例如,故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.設且存在,則證證:例如例如,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設對同一變化過程,為無窮小,說明說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則:由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.若 =o(),(2)和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則:例如,例如,(見下頁例3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(3)因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:界,則例如,例例3.求解解:原式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.證明:當時,證證:利用和差代替與取大規(guī)則和差代替與取大規(guī)則說明說明目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.無窮小的比較設 ,對同一自變量的變化過程為無窮小,且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.等價無窮小替換定理思考與練習思考與練習Th 2P59 題1,2 作業(yè)作業(yè) P59 3;4(2),(3),(4);5(3)常用等價無窮小:第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 一、一、函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見,函數(shù)在點一、一、函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 continue若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).例如例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如又如,有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當時,有函數(shù)在點連續(xù)有下列等價命題:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在在二、二、函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點之一,函數(shù) f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點間斷點.在無定義;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間斷點分類間斷點分類:第一類間斷點第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點可去間斷點.為跳躍間斷點跳躍間斷點.為無窮間斷點無窮間斷點.為振蕩間斷點振蕩間斷點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如例如:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1.討論函數(shù)x=2 是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設時提示提示:3.P65 題 3,*8為連續(xù)函數(shù).答案答案:x=1 是第一類可去間斷點,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P65 題題*8 提示提示:作業(yè)作業(yè) P65 4;5 第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 確定函數(shù)間斷點的類型.解解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增.在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理定理1.在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為 0)運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如例如,例如例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減)(證明略)在1,1上也連續(xù)單調(diào)(遞減)遞增.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證:設函數(shù)于是故復合函數(shù)又又如如,且即單調(diào) 遞增,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復合而成,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.設均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則,可知也在上連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求解解:原式例例3.求解解:令則原式說明說明:由此可見當時,有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求求解解:原式說明說明:若則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.設解解:討論復合函數(shù)的連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類間斷點.在點 x=1 不連續(xù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)復合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明:分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習續(xù)?反例 x 為有理數(shù) x 為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?作業(yè)作業(yè)P69 3 (5),(6),(7);4(4),(5),(6);6提示提示:“反之”不成立.第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、函數(shù)函數(shù) 三、三、極限極限 習題課習題課函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、函數(shù)函數(shù)1.概念定義定義:定義域 值域圖形圖形:(一般為曲線)設函數(shù)為特殊的映射:其中目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性3.反函數(shù)設函數(shù)為單射,反函數(shù)為其逆映射4.復合函數(shù)給定函數(shù)鏈則復合函數(shù)為5.初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與復合而成的一個表達式的函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1.下列各組函數(shù)是否相同?為什么?相同相同相同相同相同相同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)?為什么?不是不是是是不是不是提示提示:(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.下列函數(shù)是否為初等函數(shù)?為什么?以上各函數(shù)都是初等函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.設求及其定義域.5.已知,求6.設求由得4.解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5.已知,求解解:6.設求解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:利用函數(shù)表示與變量字母的無關的特性.代入原方程得代入上式得設其中，求令即即令即畫線三式聯(lián)立即例例1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1.函數(shù)連續(xù)的等價形式有2.函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例2.設函數(shù)在 x=0 連續(xù),則 a=,b=.提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有無窮間斷點及可去間斷點解解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例例3.設函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設 f(x)定義在區(qū)間上,若 f(x)在連續(xù),提示提示:閱讀與練習閱讀與練習且對任意實數(shù)證明 f(x)對一切 x 都連續(xù).P65 題 1,3(2);P74 題*6目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:P74 題題*6.證明:若 令則給定當時,有又根據(jù)有界性定理,使取則在內(nèi)連續(xù),存在,則必在內(nèi)有界.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上連續(xù),且恒為正,例例5.設在對任意的必存在一點證證:使令,則使故由零點定理知,存在即證明:即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上連續(xù),且 a c d b,例例6.設在必有一點證證:使即由介值定理,證明:故 即 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、極限極限1.極限定義的等價形式(以 為例)(即 為無窮小)有2.極限存在準則及極限運算法則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:4.兩個重要極限 6.判斷極限不存在的方法 5.求極限的基本方法 或注注:代表相同的表達式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.求下列極限：提示提示:無窮小有界目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有復習復習:若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.確定常數(shù) a,b,使解解:原式可變形為故于是而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.當時,是的幾階無窮小?解解:設其為 x 的 k 階無窮小,則因故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閱讀與練習閱讀與練習1.求的間斷點,并判別其類型.解解:x=1 為第一類可去間斷點 x=1 為第二類無窮間斷點 x=0 為第一類跳躍間斷點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.求解解:原式=1(2000考研)注意此項含絕對值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P75 4(1),(4);5;8;9(2),(3),(6);10;11;12;133.求解解:令則利用夾逼準則可知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)線性微分方程組*第十節(jié)解法舉例解微分方程組解微分方程組 高階微分方程求解高階微分方程求解 消元消元代入法 算子法 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)線性微分方程組解法步驟解法步驟:第一步 用消元法消去其他未知函數(shù),第二步 求出此高階方程的未知函數(shù) ;第三步 把求出的函數(shù)代入原方程組,注意注意:一階線性方程組的通解中,任意常數(shù)的個數(shù)任意常數(shù)的個數(shù)=未知函數(shù)個數(shù)未知函數(shù)個數(shù)一般通過求導求導得其它未知函數(shù).如果通過積分求其他未知函數(shù),則需要討論任意常數(shù)的關系.函數(shù)的高階方程;得到只含一個目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.解微分方程組 解解:由得代入,化簡得特征方程:通解:將代入,得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原方程通解:注意注意:1)不能由式求 y,因為那將引入新的任意常數(shù),(它們受式制約).3)若求方程組滿足初始條件的特解,只需代入通解確定即可.2)由通解表達式可見,其中任意常數(shù)間有確定的關系,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.解微分方程組 解解:則方程組可表為根據(jù)解線性方程組的克萊姆法則,有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即其特征方程:特征根:記記代入可得 A1,故得的通解:求 x:D 得,聯(lián)立即為原方程的通解.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P352 1(3),(6);2(2),(4)微分方程 第七章 積分問題積分問題 微分方程問題微分方程問題 推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程的基本概念 第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問題幾何問題物理問題物理問題 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解解:設所求曲線方程為 y=y(x),則有如下關系式:(C為任意常數(shù))由 得 C=1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x,求該曲線的方程.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例2.列車在平直路上以的速度行駛,獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解解:設列車在制動后 t 秒行駛了s 米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為說明說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求 s=s(t).制動時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 階常微分方程的形式是的階階.分類或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件(或初值條件或初值條件):的階數(shù)相同.特解特解引例2引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解,定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.驗證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.解解:這說明是方程的解.是兩個獨立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求所滿足的微分方程.例例2.已知曲線上點 P(x,y)處的法線與 x 軸交點為 Q解解:如圖所示,令 Y=0,得 Q 點的橫坐標即點 P(x,y)處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分,思考與練習思考與練習P298 1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6第二節(jié)