《高等數(shù)學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章*二、全微分在近似計算中的應用二、全微分在近似計算中的應用 應用 第三節(jié)一元函數(shù) y=f(x)的微分近似計算估計誤差本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義:如果函數(shù) z=f (x,y)在定義域 D 的內(nèi)點(x,y)可表示成其中 A,B 不依賴于 x,y,僅與 x,y 有關，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分全微分,記作若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù) f(x,y)在點(x,y)可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)偏導數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1)函數(shù)可微函數(shù) z=f(x,y)在點(x,y)可微當函數(shù)可微時:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z=f(x,y)在點(x,y)可可微微,則該函數(shù)在該點的偏導數(shù)同樣可證證證:因函數(shù)在點(x,y)可微,故 必存在,且有得到對 x 的偏增量因此有 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反例反例:函數(shù)易知 但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意注意:定理1 的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2(充分條件)證證：若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在該點可微分.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以函數(shù)在點可微.注意到,故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分偏微分.的全微分為于是目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解解:例例2.計算函數(shù)的全微分.解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可知當*二、全微分在近似計算中的應用二、全微分在近似計算中的應用1.近似計算近似計算由全微分定義較小時,及有近似等式:(可用于誤差分析或近似計算)(可用于近似計算)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 半徑由 20cm 增大解解:已知即受壓后圓柱體體積減少了 例例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm,則 高度由100cm 減少到 99cm,體積的近似改變量.求此圓柱體目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.計算的近似值.解解:設,則取則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分別表示 x,y,z 的絕對誤差界,2.誤差估計誤差估計利用令z 的絕對誤差界約為z 的相對誤差界約為則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別注意特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.利用公式求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：故絕對誤差約為又所以 S 的相對誤差約為計算三角形面積.現(xiàn)測得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 6.在直流電路中,測得電壓 U=24 V,解解:由歐姆定律可知()所以 R 的相對誤差約為0.3 +0.5 R 的絕對誤差約為0.8 0.3;定律計算電阻為 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差.相對誤差為 測得電流 I=6A,相對誤差為 0.5 ,=0.032()=0.8 求用歐姆目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可導函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.微分應用 近似計算 估計誤差絕對誤差相對誤差目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1.P75 題5；P129 題 1 函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:也可寫作:當 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 時 z=0.02,d z=0.03 3.P129 題 7目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.設解解:利用輪換對稱性,可得注意注意:x,y,z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:作業(yè)作業(yè) P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11 5.已知第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(0,0)可微.備用題備用題在點(0,0)連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù),證證:1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);但偏導數(shù)在點(0,0)不連 證明函數(shù)所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2)3)題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4)下面證明可微:說明說明:此題表明,偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目
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