《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第九章*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義:如果函數(shù) z=f (x,y)在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中 A,B 不依賴于 x,y,僅與 x,y 有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分全微分,記作若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù) f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微當(dāng)函數(shù)可微時(shí):得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可可微微,則該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微,故 必存在,且有得到對(duì) x 的偏增量因此有 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反例反例:函數(shù)易知 但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意注意:定理1 的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理2(充分條件)證證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推廣推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分偏微分.的全微分為于是目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解解:例例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可知當(dāng)*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:(可用于誤差分析或近似計(jì)算)(可用于近似計(jì)算)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 半徑由 20cm 增大解解:已知即受壓后圓柱體體積減少了 例例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm,則 高度由100cm 減少到 99cm,體積的近似改變量.求此圓柱體目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.4.計(jì)算的近似值.解解:設(shè),則取則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分別表示 x,y,z 的絕對(duì)誤差界,2.誤差估計(jì)誤差估計(jì)利用令z 的絕對(duì)誤差界約為z 的相對(duì)誤差界約為則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別注意特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.利用公式求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：解：故絕對(duì)誤差約為又所以 S 的相對(duì)誤差約為計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 6.在直流電路中,測(cè)得電壓 U=24 V,解解:由歐姆定律可知()所以 R 的相對(duì)誤差約為0.3 +0.5 R 的絕對(duì)誤差約為0.8 0.3;定律計(jì)算電阻為 R 時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.相對(duì)誤差為 測(cè)得電流 I=6A,相對(duì)誤差為 0.5 ,=0.032()=0.8 求用歐姆目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.微分應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.P75 題5；P129 題 1 函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無(wú)窮小量;時(shí)是無(wú)窮小量.2.選擇題目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:也可寫作:當(dāng) x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 時(shí) z=0.02,d z=0.03 3.P129 題 7目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4.設(shè)解解:利用輪換對(duì)稱性,可得注意注意:x,y,z 具有 輪換對(duì)稱性輪換對(duì)稱性 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:作業(yè)作業(yè) P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11 5.已知第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn)(0,0)可微.備用題備用題在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證證:1)因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連 證明函數(shù)所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理極限不存在,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)題目 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4)下面證明可微:說(shuō)明說(shuō)明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目
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