《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 第十二章*四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法若定理定理 1.正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證證:“”“”目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 都有定理定理2(比較審斂法比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)證證:設(shè)對一切收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強(qiáng)級數(shù)的部分和,則有是兩個正項(xiàng)級數(shù),(常數(shù) k 0),因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理 1 可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.討論 p 級數(shù)(常數(shù) p 0)的斂散性.解解:1)若因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知 p 級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂.時,2)若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明級數(shù)發(fā)散.證證:因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例例2.2.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng) l=0(3)當(dāng) l=證證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足(1)當(dāng) 0 l 時,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定理 2 可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0 l 時,(2)當(dāng)l=0時,由定理2 知收斂,若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是兩個正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù),(1)當(dāng) 時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;2)特別取可得如下結(jié)論:對正項(xiàng)級數(shù)(2)當(dāng) 且 收斂時,(3)當(dāng) 且 發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.注注:1)un,vn均為無窮小時,l 的值反映了它們不同階的比較.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的斂散性.例例3.判別級數(shù)的斂散性.解解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知例例4.判別級數(shù)解解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4.比值審斂法(Dalembert 判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如,p 級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.討論級數(shù)的斂散性.解解:根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對任意給定的正數(shù)*定理定理5.根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè) 為正項(xiàng)則證明提示證明提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.級數(shù),且目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p 級數(shù) 說明說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.證明級數(shù)收斂于S,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差.解解:由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計以部分和 Sn 近 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù).定理定理6.(Leibnitz 判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和 其余項(xiàng)滿足目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂收斂用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項(xiàng)取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義:對任意項(xiàng)級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.則稱原級目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.證明下列級數(shù)絕對收斂:證證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)令因此收斂,絕對收斂.小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其和分別為*四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì) *定理定理8.絕對收斂級數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.(P263 定理9)(證明見 P263P266)*定理定理9.(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積 按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為(P265 定理10)說明說明:絕對收斂級數(shù)有類似有限項(xiàng)和的性質(zhì),但條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.任意項(xiàng)級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示提示:由比較判斂法可知收斂.注意注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P266 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);*3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1.判別級數(shù)的斂散性:解解:(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.不是 p級數(shù)(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析:(B)錯;又C
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