《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)一、一、二、二、第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).待定系數(shù)法待定系數(shù)法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中 為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得 為 m 次多項(xiàng)式.(1)若 不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)若 是特征方程的單根,為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)小結(jié) 對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.的一個特解.解解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.的通解.解解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求解定解問題解解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是所求解為解得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、第二步第二步 求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步第一步將 f(x)轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一步第一步 利用歐拉公式將 f(x)變形目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 是特征方程的 k 重根(k =0,1),故等式兩邊取共軛:為方程 的特解.設(shè)則 有特解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程 均為 m 次多項(xiàng)式.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析因均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根(k =0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.的一個特解.解解:本題 特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.的通解.解解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.解解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.求物體的運(yùn)動規(guī)律.解解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動方程 當(dāng)p k 時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程之解為第六節(jié)例1(P323)中,若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f和鉛直干擾力代入可得:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,自由振動強(qiáng)迫振動 當(dāng) p=k 時,非齊次特解形式:代入可得:方程的解為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近,或使 隨著 t 的增大,強(qiáng)迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k;p=k.自由振動強(qiáng)迫振動對機(jī)械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的 k(0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的 k(0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)時可設(shè)特解為 時可設(shè)特解為 提示提示:1.(填空)設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.求微分方程的通解 (其中為實(shí)數(shù)).解解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P347 1(1),(5),(6),(10);2(2),(4);3;6習(xí)題課2 第九節(jié)
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