《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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第十章一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算 二重積分的概念與性質(zhì) 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:底:底:xOy 面上的閉區(qū)域 D頂頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面:以 D 的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求 極限”目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4)“取極限”令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片,在 xOy 平面上占有區(qū)域 D,計算該薄片的質(zhì)量 M.度為設(shè)D 的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第 k 小塊的質(zhì)量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個問題的共性共性:(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個常數(shù) I,使可積可積,在D上的二重積分二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時分區(qū)域 D,因此面積 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積可積.限個點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如,在 D:上二重積分存在;在D 上 二重積分不存在.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)(k 為常數(shù))為D 的面積,則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D 的面積為,則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7.(二重積分的中值定理)證證:由性質(zhì)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上 為D 的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.比較下列積分的大小:其中解解:積分域 D 的邊界為圓周它在與 x 軸的交點(diǎn)(1,0)處與直線從而而域 D 位于直線的上方,故在 D 上目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.估計下列積分之值解解:D 的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96 I 2D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.判斷積分的正負(fù)號.解解:分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計.舍去此項(xiàng)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8.設(shè)函數(shù)D 位于 x 軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時,仍在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記記作作 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算記記作作 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積.解解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)思考與練習(xí)解解:由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域,且 0 y 1,則的大小順序?yàn)?)提示:因 0 y 1,故故在D上有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.計算解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.證明:其中D 為解解:利用題中 x,y 位置的對稱性,有又 D 的面積為 1,故結(jié)論成立.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P135 2,4,5 P152 1(1),8第二節(jié) 作業(yè)作業(yè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1.估計 的值,其中 D 為解解:被積函數(shù)D 的面積的最大值的最小值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.判斷的正負(fù).解:解:當(dāng)時,故又當(dāng)時,于是
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