《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其方向用法向量指向方向余弦 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在 xOy 面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1.引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面 的流量.分析分析:若 是面積為S 的平面,則流量法向量:流速為常向量:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 為光滑的有向曲面,在 上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù);叫做積分曲面積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì) 的任 則稱此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積2.定義:定義:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例中,流過(guò)有向曲面 的流體的流量為稱為Q 在有向曲面 上對(duì)對(duì) z,x 的曲面積分的曲面積分;稱為R 在有向曲面 上對(duì)對(duì) x,y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面 上對(duì)對(duì) y,z 的曲面積分的曲面積分;若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.性質(zhì)性質(zhì)(1)若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用 表示 的反向曲面,則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理:設(shè)光滑曲面取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù),則證證:取上側(cè),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若則有 若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明說(shuō)明:如果積分曲面 取下側(cè),則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.計(jì)算其中 是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解解:利用對(duì)稱性.原式 的頂部 取上側(cè) 的底部 取下側(cè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:把 分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性 思考思考:下述解法是否正確:例例2.計(jì)算曲面積分其中 為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.設(shè)S 是球面的外側(cè),計(jì)算解解:利用輪換對(duì)稱性,有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令向量形式(A 在 n 上的投影)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.位于原點(diǎn)電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為解解:。求E 通過(guò)球面 :r=R 外側(cè)的電通量 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.設(shè)是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角,計(jì)算解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.計(jì)算曲面積分其中 解解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有 原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 z=0 及 z=2 之間部分的下側(cè).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 原式=原式=目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì):聯(lián)系聯(lián)系:思考思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個(gè)與 的方向無(wú)關(guān),一個(gè)與目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.常用計(jì)算公式及方法常用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類:面積投影第二類:有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注:二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)時(shí),(上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在 yOz 面及 zOx 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.P227 題2提示提示:設(shè)則 取上側(cè)時(shí),取下側(cè)時(shí),2.P244 題 13.P227 題3(3)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 是平面在第四卦限部分的上側(cè),計(jì)算提示提示:求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P227 題題3(3).設(shè)作業(yè)作業(yè) P227 3(1),(2),(4);4(1),(2)第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 求求取外側(cè).解解:注意號(hào)其中目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用輪換對(duì)稱性
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